Διανυσματική προβολή

Προβολή του Πρότυπο:Math στο Πρότυπο:Math (a₁), και απόρριψη του Πρότυπο:Math από το Πρότυπο:Math (a₂).

Η διανυσματική προβολή (επίσης γνωστή ως διανυσματική συνιστώσα ή διανυσματική ανάλυση) ενός διανύσματος Πρότυπο:Math πάνω (ή επί) σε ένα μη μηδενικό διάνυσμα Πρότυπο:Math είναι η ορθογώνια προβολή του Πρότυπο:Math πάνω σε μια ευθεία παράλληλη προς το Πρότυπο:Math. Η προβολή του Πρότυπο:Math πάνω στο Πρότυπο:Math γράφεται συχνά ως ${\mathrm{proj}}_{𝐛}𝐚$ ή Πρότυπο:Math.

Η διανυσματική συνιστώσα ή η διανυσματική ανάλυση του Πρότυπο:Math κάθετα στο Πρότυπο:Math, που μερικές φορές ονομάζεται επίσης διανυσματική απόρριψη του Πρότυπο:Math από το Πρότυπο:Math (συμβολίζεται ως ${\mathrm{oproj}}_{𝐛}𝐚$ ή Πρότυπο:Math), είναι η ορθογώνια προβολή του Πρότυπο:Math στο επίπεδο (ή, γενικά, στο υπερεπίπεδο) που είναι ορθογώνιο στο Πρότυπο:Math. Εφόσον και τα δύο ${\mathrm{proj}}_{𝐛}𝐚$ και ${\mathrm{oproj}}_{𝐛}𝐚$ είναι διανύσματα και το άθροισμά τους είναι ίσο με Πρότυπο:Math, η απόρριψη του Πρότυπο:Math από το Πρότυπο:Math δίνεται από:

${\mathrm{oproj}}_{𝐛}𝐚=𝐚-{\mathrm{proj}}_{𝐛}𝐚.$

Για απλοποίηση της σημειογραφίας, αυτό το άρθρο ορίζει ${𝐚}_1:={\mathrm{proj}}_{𝐛}𝐚$ και ${𝐚}_2:={\mathrm{oproj}}_{𝐛}𝐚.$ Έτσι, το διάνυσμα ${𝐚}_1$ είναι παράλληλο προς το $𝐛,$ το διάνυσμα ${𝐚}_2$ είναι ορθογώνιο προς το $𝐛,$ και $𝐚={𝐚}_1+{𝐚}_2.$

Η προβολή του Πρότυπο:Math στο Πρότυπο:Math μπορεί να αναλυθεί σε μια κατεύθυνση και ένα κλιμακωτό μέγεθος γράφοντάς την ως ${𝐚}_1=a_1\widehat{𝐛}$ όπου $a_1$ είναι ένα κλιμάκιο, που ονομάζεται κλιμακωτή προβολή του Πρότυπο:Math στο Πρότυπο:Math, και Πρότυπο:Math είναι το μοναδιαίο διάνυσμα στην κατεύθυνση του Πρότυπο:Math. Η κλιμακωτή προβολή ορίζεται ως.

$a_1=\Vert 𝐚\Vert \cos \theta =𝐚\cdot \widehat{𝐛}$

Όταν Πρότυπο:Math, Πρότυπο:Math έχει αντίθετη κατεύθυνση σε σχέση με Πρότυπο:Math.

όπου ο τελεστής ⋅ υποδηλώνει ένα τετραγωνικό γινόμενο, ‖a‖ είναι το μήκος του Πρότυπο:Math, και θ είναι η γωνία μεταξύ των Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math.

Η κλιμακωτή προβολή είναι ίση σε απόλυτη τιμή με το μήκος της διανυσματικής προβολής, με ένα μείον πρόσημο εάν η κατεύθυνση της προβολής είναι αντίθετη από τη διεύθυνση του Πρότυπο:Math, δηλαδή εάν η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων είναι μεγαλύτερη από 90 μοίρες.

Η διανυσματική προβολή μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας το τετραγωνικό γινόμενο του $𝐚$ and $𝐛$ as: ως εξής:

${\mathrm{proj}}_{𝐛}𝐚=(𝐚\cdot \widehat{𝐛})\widehat{𝐛}=\frac{𝐚\cdot 𝐛}{\Vert 𝐛\Vert }\frac{𝐛}{\Vert 𝐛\Vert }=\frac{𝐚\cdot 𝐛}{{\Vert 𝐛\Vert }^2}𝐛=\frac{𝐚\cdot 𝐛}{𝐛\cdot 𝐛}𝐛.$

Σημειογραφία

Αυτό το άρθρο χρησιμοποιεί τη σύμβαση ότι τα διανύσματα συμβολίζονται με έντονη γραμματοσειρά (π.χ. Πρότυπο:Math), ενώ τα κλιμάκια γράφονται με κανονική γραμματοσειρά (π.χ. a₁).

Το τετραγωνικό γινόμενο των διανυσμάτων Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math γράφεται ως $𝐚\cdot 𝐛$, η νόρμα του Πρότυπο:Math γράφεται ‖a‖, η γωνία μεταξύ των Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math συμβολίζεται με θ.

Ορισμοί με βάση τη γωνία θ

Κλιμακωτή προβολή

Η κλιμακωτή προβολή του Πρότυπο:Math στο Πρότυπο:Math είναι ένα κλιμακωτό ίσο με

$a_1=\Vert 𝐚\Vert \cos \theta ,$

όπου θ είναι η γωνία μεταξύ Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math.

Μια κλιμακωτή προβολή μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως συντελεστής κλίμακας για τον υπολογισμό της αντίστοιχης διανυσματικής προβολής.

Διανυσματική προβολή

Η διανυσματική προβολή του Πρότυπο:Math στο Πρότυπο:Math είναι ένα διάνυσμα του οποίου το μέγεθος είναι η κλιμακωτή προβολή του Πρότυπο:Math στο Πρότυπο:Math με την ίδια κατεύθυνση με το Πρότυπο:Math. Δηλαδή, ορίζεται ως

${𝐚}_1=a_1\widehat{𝐛}=(\Vert 𝐚\Vert \cos \theta )\widehat{𝐛}$

όπου $a_1$ είναι η αντίστοιχη κλιμακωτή προβολή, όπως ορίζεται παραπάνω, και $\widehat{𝐛}$ είναι το μοναδιαίο διάνυσμα με την ίδια κατεύθυνση με το Πρότυπο:Math:

$\widehat{𝐛}=\frac{𝐛}{\Vert 𝐛\Vert }$

Απόρριψη διανύσματος

Εξ ορισμού, η διανυσματική απόρριψη του Πρότυπο:Math στο Πρότυπο:Math είναι:

${𝐚}_2=𝐚-{𝐚}_1$

Ως εκ τούτου,

${𝐚}_2=𝐚-(\Vert 𝐚\Vert \cos \theta )\widehat{𝐛}$

Ορισμοί ως προς a και b

Όταν το Πρότυπο:Mvar δεν είναι γνωστό, το συνημίτονο του Πρότυπο:Mvar μπορεί να υπολογιστεί ως προς τα Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math, από την ακόλουθη ιδιότητα του εσωτερικού γινομένου Πρότυπο:Math

$𝐚\cdot 𝐛=\Vert 𝐚\Vert \Vert 𝐛\Vert \cos \theta$

Κλιμακωτή προβολή

Με την προαναφερθείσα ιδιότητα του τετραγωνικού γινομένου, ο ορισμός της κλιμακωτής προβολής γίνεται:

$a_1=\Vert 𝐚\Vert \cos \theta =\frac{𝐚\cdot 𝐛}{\Vert 𝐛\Vert }.$

Σε δύο διαστάσεις, αυτό μετατρέπεται σε

$a_1=\frac{{𝐚}_x{𝐛}_x+{𝐚}_y{𝐛}_y}{\Vert 𝐛\Vert }.$

Διανυσματική προβολή

Ομοίως, ο ορισμός της διανυσματικής προβολής του Πρότυπο:Math στο Πρότυπο:Math γίνεται:

${𝐚}_1=a_1\widehat{𝐛}=\frac{𝐚\cdot 𝐛}{\Vert 𝐛\Vert }\frac{𝐛}{\Vert 𝐛\Vert },$

το αποτέλεσμα είναι ισοδύναμο με

${𝐚}_1=(𝐚\cdot \widehat{𝐛})\widehat{𝐛},$

ή

${𝐚}_1=\frac{𝐚\cdot 𝐛}{{\Vert 𝐛\Vert }^2}𝐛=\frac{𝐚\cdot 𝐛}{𝐛\cdot 𝐛}𝐛.$

Απόρριψη κλιμάκων

Στις δύο διαστάσεις, η απόρριψη του κλιμακωτού είναι ισοδύναμη με την προβολή του Πρότυπο:Math στο ${𝐛}^{\perp }=\left(\begin{array}{cc}-{𝐛}_y& {𝐛}_x\end{array}\right)$, που είναι$𝐛=\left(\begin{array}{cc}{𝐛}_x& {𝐛}_y\end{array}\right)$ με περιστροφή 90° προς τα αριστερά. Ως εκ τούτου,

$a_2=\Vert 𝐚\Vert \sin \theta =\frac{𝐚\cdot {𝐛}^{\perp }}{\Vert 𝐛\Vert }=\frac{{𝐚}_y{𝐛}_x-{𝐚}_x{𝐛}_y}{\Vert 𝐛\Vert }.$

Ένα τέτοιο εσωτερικό γινόμενο ονομάζεται "perp dot product".

Απόρριψη διανύσματος

Εξ ορισμού,

${𝐚}_2=𝐚-{𝐚}_1$

Ως εκ τούτου,

${𝐚}_2=𝐚-\frac{𝐚\cdot 𝐛}{𝐛\cdot 𝐛}𝐛.$

Χρησιμοποιώντας την κλιμακωτή απόρριψη και το εσωτερικό γινόμενο perp αυτό δίνει

${𝐚}_2=\frac{𝐚\cdot {𝐛}^{\perp }}{𝐛\cdot 𝐛}{𝐛}^{\perp }$

Ιδιότητες

Αν 0° ≤ θ ≤ 90°, καθώς στην περίπτωση αυτή, η κλιμακωτή προβολή του Πρότυπο:Math στο Πρότυπο:Math συμπίπτει με το μήκος της διανυσματικής προβολής.

Κλιμακωτή προβολή

Η κλιμακωτή προβολή Πρότυπο:Math στο Πρότυπο:Math είναι ένα κλιμακωτό που έχει αρνητικό πρόσημο αν η 90 μοίρες < θ ≤ 180 μοίρες. Συμπίπτει με το μήκος Πρότυπο:Math της διανυσματικής προβολής αν η γωνία είναι μικρότερη από 90°. Πιο συγκεκριμένα:

• Πρότυπο:Math if Πρότυπο:Math,
• Πρότυπο:Math if Πρότυπο:Math.

Διανυσματική προβολή

Η διανυσματική προβολή του Πρότυπο:Math στο Πρότυπο:Math είναι ένα διάνυσμα Πρότυπο:Math το οποίο είναι είτε μηδενικό είτε παράλληλο προς το Πρότυπο:Math. Πιο συγκεκριμένα:

• Πρότυπο:Math if Πρότυπο:Math,
• Πρότυπο:Math and Πρότυπο:Math έχουν την ίδια κατεύθυνση εάν Πρότυπο:Math,
• Πρότυπο:Math and Πρότυπο:Math έχουν αντίθετες κατευθύνσεις εάν Πρότυπο:Math.

Διανυσματική απόρριψη

Η διανυσματική απόρριψη του Πρότυπο:Math στο Πρότυπο:Math είναι ένα διάνυσμα Πρότυπο:Math το οποίο είναι είτε μηδενικό είτε ορθογώνιο προς το Πρότυπο:Math. Πιο συγκεκριμένα:

• Πρότυπο:Math if Πρότυπο:Math ή Πρότυπο:Math,
• Πρότυπο:Math είναι ορθογώνια προς Πρότυπο:Math αν Πρότυπο:Math,

Αναπαράσταση πίνακα

Η ορθογώνια προβολή μπορεί να αναπαρασταθεί από έναν πίνακα προβολής. Για την προβολή ενός διανύσματος στο μοναδιαίο διάνυσμα Πρότυπο:Math, θα πρέπει να πολλαπλασιαστεί με αυτόν τον πίνακα προβολής:

$P_{𝐚}=𝐚{𝐚}^{\mathsf{\text{T}}}=\left[\begin{array}{c}{a}_x\\ a_y\\ a_z\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{a}_x& a_y& a_z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{a}_x^2& a_x{a}_y& a_x{a}_z\\ a_x{a}_y& a_y^2& a_y{a}_z\\ a_x{a}_z& a_y{a}_z& a_z^2\end{array}\right]$

Χρήσεις

Η διανυσματική προβολή είναι μια σημαντική πράξη στην ορθοκανονικοποίηση Γκραμ-Σμιντ των βάσεων διανυσματικών χώρων. Χρησιμοποιείται επίσης στο θεώρημα του διαχωριστικού άξονα για να διαπιστωθεί αν δύο κυρτά σχήματα τέμνονται.

Γενικεύσεις

Εφόσον οι έννοιες του μήκους διανύσματος και της γωνίας μεταξύ διανυσμάτων μπορούν να γενικευτούν σε οποιοδήποτε χώρο εσωτερικού γινομένου n-διαστάσεων, αυτό ισχύει επίσης για τις έννοιες της ορθογώνιας προβολής ενός διανύσματος, της προβολής ενός διανύσματος σε ένα άλλο και της απόρριψης ενός διανύσματος από ένα άλλο.

Σε ορισμένες περιπτώσεις, το εσωτερικό γινόμενο συμπίπτει με το γινόμενο τελείας. Όταν δεν συμπίπτουν, το εσωτερικό γινόμενο χρησιμοποιείται αντί για το γινόμενο τελείας στους επίσημους ορισμούς της προβολής και της απόρριψης. Για έναν τρισδιάστατο χώρο εσωτερικού γινομένου, οι έννοιες της προβολής ενός διανύσματος σε ένα άλλο και της απόρριψης ενός διανύσματος από ένα άλλο μπορούν να γενικευτούν στις έννοιες της προβολής ενός διανύσματος σε ένα επίπεδο και της απόρριψης ενός διανύσματος από ένα επίπεδο. Η απόρριψη ενός διανύσματος από ένα επίπεδο είναι η ορθογώνια προβολή του σε μια ευθεία που είναι ορθογώνια στο επίπεδο αυτό. Και τα δύο είναι διανύσματα. Το πρώτο είναι παράλληλο προς το επίπεδο, το δεύτερο είναι ορθογώνιο.

Για ένα δεδομένο διάνυσμα και επίπεδο, το άθροισμα της προβολής και της απόρριψης είναι ίσο με το αρχικό διάνυσμα. Ομοίως, για χώρους εσωτερικού γινομένου με περισσότερες από τρεις διαστάσεις, οι έννοιες της προβολής σε ένα διάνυσμα και της απόρριψης από ένα διάνυσμα μπορούν να γενικευτούν στις έννοιες της προβολής σε ένα υπερεπίπεδο και της απόρριψης από ένα υπερεπίπεδο. Στη γεωμετρική άλγεβρα, μπορούν να γενικευτούν περαιτέρω στις έννοιες της προβολής και της απόρριψης ενός γενικού πολυδιανύσματος πάνω/από οποιοδήποτε αντιστρέψιμο k-blade.

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
• Μιγαδικός αριθμός
• Θεωρία αναπαραστάσεων
• Ορίζουσα
• Υπερβολική γεωμετρία
• Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Matrix Analysis
• The Concise Oxford Dictionary of Mathematics
• Vector Calculus
• Progress in Biological Cybernetics Research
• Linear Algebra and Analytic Geometry

Δημοσιεύσεις

• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Citation.
• Πρότυπο:Citation.