Διαφορική εξίσωση Κλερώ

Στα μαθηματικά, μια εξίσωση Κλερώ είναι μια διαφορική εξίσωση της μορφής:

$y(x)=x\frac{dy}{dx}+f\left(\frac{dy}{dx}\right)$

Για την επίλυση αυτής της εξίσωσης, παραγωγίζουμε ως προς x, έχοντας:

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dx}+x\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+f^{\prime }\left(\frac{dy}{dx}\right)\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$

έτσι:

$0=(x+f^{\prime }\left(\frac{dy}{dx}\right))\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$

Επομένως, είτε:

$0=\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$

ή:

$0=x+f^{\prime }\left(\frac{dy}{dx}\right)$

Στην πρώτη περίπτωση C = dy/dx για κάποια σταθερά C. Αντικαθιστώντας στην εξίσωση Κλερώ, έχουμε την οικογένεια συναρτήσεων που δίνεται από τον τύπο:

$y(x)=Cx+f(C)$

Αυτή ονομάζεται η γενική λύση της εξίσωσης Κλερώ.

Στη δεύτερη περίπτωση, προκύπτει η εξίσωση:

$0=x+f^{\prime }\left(\frac{dy}{dx}\right)$

Αυτή ορίζει μόνο μια λύση y(x), την επονομαζόμενη μοναδική λύση, της οποίας η γραφική παράσταση είναι η περιβάλλουσα των γραφικών παραστάσεων των γενικών λύσεων. Η μοναδική λύση συνήθως αναπαρίσταται ως (x(p), y(p)), όπου p είναι το dy/dx.

Αυτή η εξίσωση πήρε το όνομά της από τον Αλεξίς Κλερώ, ο οποίος την παρουσίασε το 1734.

Μια πρώτης τάξης μερική διαφορική εξίσωση είναι επίσης γνωστή ως Εξίσωση του Κλερώ ή Εξίσωση Κλερώ:

$u=x{u}_x+y{u}_y+f(u_x,u_y)$

Πηγές

• Πρότυπο:Citation