Διαφορική εξίσωση πινάκων

Μια Διαφορική εξίσωση πινάκων είναι μια εξίσωση διαφοράς στην οποία η τιμή ενός διανύσματος (ή μερικές φορές, ενός πίνακα) μεταβλητών σε μια χρονική στιγμή σχετίζεται με τη δική του τιμή σε μια ή περισσότερες προηγούμενες χρονικές στιγμές, χρησιμοποιώντας πίνακες. Η τάξη της εξίσωσης είναι η μέγιστη χρονική διαφορά μεταξύ δύο ενδεικτικών τιμών του διανύσματος των μεταβλητών. Παραδείγματος χάριν,

${𝐱}_t={𝐀𝐱}_{t-1}+{𝐁𝐱}_{t-2}$

είναι ένα παράδειγμα διαφορικής εξίσωσης πινάκων δεύτερης τάξης, στην οποία Πρότυπο:Math είναι ένα Πρότυπο:Math διάνυσμα μεταβλητών και Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math είναι Πρότυπο:Math πίνακες. Αυτή η εξίσωση είναι ομογενής επειδή δεν υπάρχει διανυσματικός σταθερός όρος που να προστίθεται στο τέλος της εξίσωσης. Η ίδια εξίσωση μπορεί επίσης να γραφεί ως

${𝐱}_{t+2}={𝐀𝐱}_{t+1}+{𝐁𝐱}_t$

ή ως

${𝐱}_n={𝐀𝐱}_{n-1}+{𝐁𝐱}_{n-2}$

Οι πιο συνηθισμένες διαφορικές εξισώσεις πινάκων είναι πρώτης τάξης.

Μη ομοιογενής περίπτωση πρώτης τάξης και η σταθερή κατάσταση

Ένα παράδειγμα μη ομογενούς διαφορικής εξίσωσης πρώτης τάξης είναι η εξής

${𝐱}_t={𝐀𝐱}_{t-1}+𝐛$

με προσθετικό σταθερό διάνυσμα Πρότυπο:Math. Η μόνιμη κατάσταση αυτού του συστήματος είναι μια τιμή Πρότυπο:Math του διανύσματος Πρότυπο:Math η οποία, αν επιτευχθεί, δεν θα αποκλίνει από αυτήν στη συνέχεια. Πρότυπο:Math βρίσκεται θέτοντας Πρότυπο:Math στην εξίσωση διαφορών και επιλύοντας για Πρότυπο:Math ώστε να έχουμε

${𝐱}^{*}=[𝐈-𝐀{]}^{-1}𝐛$

όπου Πρότυπο:Math είναι το Πρότυπο:Math πίνακας ταυτότητας, και όπου υποτίθεται ότι Πρότυπο:Math είναι αντιστρέψιμος. Τότε η μη ομογενής εξίσωση μπορεί να ξαναγραφεί σε ομογενή μορφή ως προς τις αποκλίσεις από τη μόνιμη κατάσταση:

$[{𝐱}_t-{𝐱}^{*}]=𝐀[{𝐱}_{t-1}-{𝐱}^{*}]$

Σταθερότητα στην περίπτωση πρώτης τάξεως

Η εξίσωση διαφορών πίνακα πρώτης τάξης Πρότυπο:Math είναι ευσταθής - δηλαδή η Πρότυπο:Math συγκλίνει ασυμπτωτικά στη σταθερή κατάσταση Πρότυπο:Math— - εάν και μόνο εάν όλες οι ιδιοτιμές του πίνακα μετάβασης Πρότυπο:Math (πραγματικές ή μιγαδικές) έχουν απόλυτη τιμή μικρότερη από 1.

Λύση της περίπτωσης πρώτης τάξης

Ας υποθέσουµε ότι η εξίσωση έχει τεθεί στην οµογενή µορφή Πρότυπο:Math. Τότε μπορούμε να επαναλαμβάνουμε και να αντικαθιστούμε επανειλημμένα από την αρχική συνθήκη Πρότυπο:Math, η οποία είναι η αρχική τιμή του διανύσματος Πρότυπο:Math και η οποία πρέπει να είναι γνωστή για να βρούμε τη λύση:

$\begin{array}{cc}{𝐲}_1& ={𝐀𝐲}_0\\ {𝐲}_2& ={𝐀𝐲}_1={𝐀}^2{𝐲}_0\\ {𝐲}_3& ={𝐀𝐲}_2={𝐀}^3{𝐲}_0\end{array}$

και ούτω καθεξής, έτσι ώστε με επαγωγή η λύση ως προς Πρότυπο:Mvar είναι

${𝐲}_t={𝐀}^t{𝐲}_0$

Επιπλέον, αν το Πρότυπο:Math είναι διαγωνοποιήσιμο, μπορούμε να ξαναγράψουμε το Πρότυπο:Math ως προς τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματά του, δίνοντας τη λύση ως εξής

${𝐲}_t={𝐏𝐃}^t{𝐏}^{-1}{𝐲}_0,$

και ούτω καθεξής, έτσι ώστε με μαθηματική επαγωγή η λύση ως προς Πρότυπο:Mvar είναι

Επιπλέον, αν το Πρότυπο:Math είναι διαγωνοποιήσιμο, μπορούμε να ξαναγράψουμε το Πρότυπο:Math ως προς τις ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα του, δίνοντας τη λύση ως εξής

${𝐲}_t={𝐏𝐃}^t{𝐏}^{-1}{𝐲}_0,$

όπου Πρότυπο:Math είναι ένας πίνακας Πρότυπο:Math του οποίου οι στήλες είναι τα ιδιοδιανύσματα του Πρότυπο:Math (υποθέτοντας ότι οι ιδιοτιμές είναι όλες διακριτές) και Πρότυπο:Math είναι ένας διαγώνιος πίνακας Πρότυπο:Math του οποίου τα διαγώνια στοιχεία είναι οι ιδιοτιμές του Πρότυπο:Math. Αυτή η λύση αιτιολογεί το παραπάνω αποτέλεσμα ευστάθειας: Ο Πρότυπο:Math συρρικνώνεται στον μηδενικό πίνακα με την πάροδο του χρόνου εάν και μόνο εάν οι ιδιοτιμές του Πρότυπο:Mvar είναι όλες μικρότερες της μονάδας σε απόλυτη τιμή.

Εξαγωγή της δυναμικής μιας μεμονωμένης κλιμακωτής μεταβλητής από ένα σύστημα πινάκων πρώτης τάξης

Ξεκινώντας από το Πρότυπο:Math-διάστατο σύστημα Πρότυπο:Math, μπορούμε να εξάγουμε τη δυναμική μιας από τις μεταβλητές κατάστασης, ας πούμε Πρότυπο:Math. Η παραπάνω εξίσωση λύσης για την Πρότυπο:Mvar δείχνει ότι η λύση για την Πρότυπο:Math είναι σε όρους των Πρότυπο:Mvar ιδιοτιμών τουΠρότυπο:Math. Επομένως, η εξίσωση που περιγράφει την εξέλιξη της Πρότυπο:Math από μόνη της πρέπει να έχει μια λύση που να περιλαμβάνει τις ίδιες ιδιοτιμές. Αυτή η περιγραφή υποκινεί διαισθητικά την εξίσωση της εξέλιξης του Πρότυπο:Math, η οποία είναι

$y_{1,t}=a_1{y}_{1,t-1}+a_2{y}_{1,t-2}+\dots +a_n{y}_{1,t-n}$

όπου οι παράμετροι Πρότυπο:Mvar προέρχονται από τη χαρακτηριστική εξίσωση του πίνακα Πρότυπο:Math:

${\lambda }^n-a_1{\lambda }^{n-1}-a_2{\lambda }^{n-2}-\dots -a_n{\lambda }^0=0.$

Έτσι, κάθε μεμονωμένη κλιμακωτή μεταβλητή ενός Πρότυπο:Mvar-διάστατου γραμμικού συστήματος πρώτης τάξης εξελίσσεται σύμφωνα με μια μονοσήμαντη Πρότυπο:Mvar εξίσωση διαφορών δευτέρου βαθμού, η οποία έχει την ίδια ιδιότητα ευστάθειας (σταθερή ή ασταθής) με την διαφορική εξίσωση πινάκων.

Λύση και σταθερότητα περιπτώσεων υψηλότερης τάξης

Οι εξισώσεις διαφορών πινάκων υψηλότερης τάξης, δηλαδή με χρονική υστέρηση μεγαλύτερη από μία περίοδο, μπορούν να επιλυθούν και να αναλυθεί η ευστάθειά τους, μετατρέποντάς τες σε μορφή πρώτης τάξης με τη χρήση ενός block matrix (σύνθετου πίνακα). Παραδείγματος χάριν, ας υποθέσουμε ότι έχουμε την εξίσωση δεύτερης τάξης.

${𝐱}_t={𝐀𝐱}_{t-1}+{𝐁𝐱}_{t-2}$

με το μεταβλητό διάνυσμα Πρότυπο:Math να είναι Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math να είναι Πρότυπο:Math. Αυτό μπορεί να στοιβαχτεί στη μορφή

$\left[\begin{array}{c}{𝐱}_t\\ {𝐱}_{t-1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}𝐀& 𝐁\\ 𝐈& \mathrm{𝟎}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{𝐱}_{t-1}\\ {𝐱}_{t-2}\end{array}\right]$

όπου Πρότυπο:Math είναι ο πίνακας ταυτότητας Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math είναι ο μηδενικός πίνακας Πρότυπο:Math. Στη συνέχεια, συμβολίζοντας το Πρότυπο:Math στοιβαγμένο διάνυσμα των τρεχουσών και των μεταβλητών με μια φορά υστέρηση ως Πρότυπο:Math και τον σύνθετο πίνακα Πρότυπο:Math ως Πρότυπο:Math, έχουμε όπως και πριν τη λύση

${𝐳}_t={𝐋}^t{𝐳}_0$

Επίσης, όπως και προηγουμένως, αυτή η στοιβαγμένη εξίσωση, και συνεπώς η αρχική εξίσωση δεύτερης τάξης, είναι ευσταθής εάν και μόνο εάν όλες οι ιδιοτιμές του πίνακα Πρότυπο:Math είναι μικρότερες από τη μονάδα σε απόλυτη τιμή.

Μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις πινάκων: εξισώσεις Ρικάτι

Στον γραμμικό-τετραγωνικό-Γκαουσιανό έλεγχο, προκύπτει μια μη διαφορική εξίσωση πινάκων για την αντίστροφη εξέλιξη ενός πίνακα τρέχοντος και μελλοντικού κόστους, που συμβολίζεται κατωτέρω ως Πρότυπο:Math. Η εξίσωση αυτή ονομάζεται διακριτή δυναμική εξίσωση Ρικάτι και προκύπτει όταν ένα μεταβλητό διάνυσμα που εξελίσσεται σύμφωνα με μια γραμμική διαφορική εξίσωση πινάκων ελέγχεται με το χειρισμό ενός εξωγενούς διανύσματος προκειμένου να βελτιστοποιηθεί μια τετραγωνική συνάρτηση κόστους. Αυτή η εξίσωση Ρικάτι παίρνει την ακόλουθη, ή παρόμοια, μορφή:

${𝐇}_{t-1}=𝐊+{𝐀}^{\prime }{𝐇}_t𝐀-{𝐀}^{\prime }{𝐇}_t𝐂{[{𝐂}^{\prime }{𝐇}_t𝐂+𝐑]}^{-1}{𝐂}^{\prime }{𝐇}_t𝐀$

όπου Πρότυπο:Math, Πρότυπο:Math, και Πρότυπο:Math είναι Πρότυπο:Math, Πρότυπο:Math είναι Πρότυπο:Math, Πρότυπο:Math είναι Πρότυπο:Math, Πρότυπο:Math είναι ο αριθμός των στοιχείων του διανύσματος προς έλεγχο και Πρότυπο:Math είναι ο αριθμός των στοιχείων του διανύσματος ελέγχου. Οι πίνακες παραμέτρων Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math προέρχονται από τη γραμμική εξίσωση, και οι πίνακες παραμέτρων Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math προέρχονται από την τετραγωνική συνάρτηση κόστους. Δείτε το Πλαίσιο της εδώ για λεπτομέρειες.

Κατά κανόνα, η εξίσωση αυτή δεν μπορεί να επιλυθεί αναλυτικά για το Πρότυπο:Math ως προς το Πρότυπο:Mvar. Αντίθετα, η ακολουθία των τιμών για το Πρότυπο:Math βρίσκεται με επανάληψη της εξίσωσης Ρικάτι. Ωστόσο, έχει αποδειχθεί ότι αυτή η εξίσωση Ρικάτι μπορεί να επιλυθεί αναλυτικά εάν Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math, ανάγοντάς την σε μια εξίσωση κλιμακωτών ρητών διαφορών- επιπλέον, για οποιοδήποτε Πρότυπο:Mvar και Πρότυπο:Mvar εάν ο πίνακας μετάβασης Πρότυπο:Math είναι μη-ιδιάζων, τότε η εξίσωση Ρικάτι μπορεί να επιλυθεί αναλυτικά ως προς τις ιδιοτιμές ενός πίνακα, αν και αυτές μπορεί να χρειαστεί να βρεθούν αριθμητικά.

Στις περισσότερες περιπτώσεις η εξέλιξη του Πρότυπο:Math προς τα πίσω στο χρόνο είναι σταθερή, πράγμα που σημαίνει ότι ο Πρότυπο:Math συγκλίνει σε έναν συγκεκριμένο σταθερό πίνακα Πρότυπο:Math, ο οποίος μπορεί να είναι μη ρητός ακόμη και αν όλοι οι άλλοι πίνακες είναι ρητοί.

Μια σχετική εξίσωση Ρικάτι είναι η εξής

${𝐗}_{t+1}=-[𝐄+𝐁{𝐗}_t]{[𝐂+𝐀{𝐗}_t]}^{-1}$

στην οποία οι πίνακες Πρότυπο:Math είναι όλοι Πρότυπο:Math. Η εξίσωση αυτή μπορεί να επιλυθεί ρητά. Ας υποθέσουμε ότι ${𝐗}_t={𝐍}_t{𝐃}_t^{-1},$ το οποίο βεβαίως ισχύει για tΠρότυπο:Math με Πρότυπο:Math και με Πρότυπο:Math. Τότε χρησιμοποιώντας αυτό στην εξίσωση διαφορών προκύπτει

$\begin{array}{cc}{𝐗}_{t+1}& =-[𝐄+{𝐁𝐍}_t{𝐃}_t^{-1}]{𝐃}_t{𝐃}_t^{-1}{[𝐂+{𝐀𝐍}_t{𝐃}_t^{-1}]}^{-1}\\ & =-[{𝐄𝐃}_t+{𝐁𝐍}_t]{\left[[𝐂+{𝐀𝐍}_t{𝐃}_t^{-1}]{𝐃}_t\right]}^{-1}\\ & =-[{𝐄𝐃}_t+{𝐁𝐍}_t]{[{𝐂𝐃}_t+{𝐀𝐍}_t]}^{-1}\\ & ={𝐍}_{t+1}{𝐃}_{t+1}^{-1}\end{array}$

οπότε με επαγωγή ισχύει η μορφή ${𝐗}_t={𝐍}_t{𝐃}_t^{-1}$ για όλα τα Πρότυπο:Mvar. Τότε η εξέλιξη των Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math μπορεί να γραφεί ως εξής

$\left[\begin{array}{c}{𝐍}_{t+1}\\ {𝐃}_{t+1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-𝐁& -𝐄\\ 𝐀& 𝐂\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{𝐍}_t\\ {𝐃}_t\end{array}\right]\equiv 𝐉\left[\begin{array}{c}{𝐍}_t\\ {𝐃}_t\end{array}\right]$

Συνεπώς, με επαγωγή

$\left[\begin{array}{c}{𝐍}_t\\ {𝐃}_t\end{array}\right]={𝐉}^t\left[\begin{array}{c}{𝐍}_0\\ {𝐃}_0\end{array}\right]$

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Μαθηματική επαγωγή
• Μιγαδικός αριθμός
• Πίνακας (μαθηματικά)
• Ορίζουσα
• Αντιστρέψιμος πίνακας
• Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Matrix Analysis
• The Concise Oxford Dictionary of Mathematics
• An Introduction to Difference Equations
• Theory Of Difference Equations Numerical Methods And Applications
• Differential Equations, Difference Equations and Matrix Theory

Δημοσιεύσεις

• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Cite web
• Bartle; Sherbert; Introduction to real analysis (4th ed.), John Wiley & Sons, 2011 Πρότυπο:ISBN.
• Nahin, Paul J.; An Imaginary Tale; Princeton University Press; (hardcover, 1998). Πρότυπο:ISBN.
• Πρότυπο:Citation