Δωδεκαδικό σύστημα αρίθμησης

Το δωδεκαδικό σύστημα αρίθμησης είναι θεσιακό σύστημα αρίθμησης το οποίο χρησιμοποιεί το 12 ως την αριθμητική βάση του.

Περιγραφή

Ιδιότητες και προέλευση

Οι φάλαγγες (οριζόντιες αρθρώσεις) των δαχτύλων χρησιμοποιούνται σε κάποιους πολιτισμούς για τη μέτρηση έως το 12 με τη χρήση του ενός χεριού

Ο αριθμός 12 είναι εξαιρετικά υψηλός σύνθετος αριθμός καθώς διαθέτει μεγάλο αριθμό διαιρετών με 6 διαιρέτες (1 2 3 4 6 12) σε σχέση με την αριθμητική του θέση. Οι παράγοντες του (2 και 3) είναι πρώτοι αριθμοί κάτι που σημαίνει πως οι αντίστροφοι όλων των αριθμών που πραγματοποιούνται με το 3 δεν δημιουργούν άρρητους αριθμούς όταν διαιρούνται. Έτσι αποτελεί βολικό σύστημα για τον υπολογισμό συχνά χρησιμοποιούμενων κλασμάτων όπως  ¹⁄₂,   ¹⁄₃,   ²⁄₃,   ¹⁄₄ και ³⁄₄ καθώς δίνει αποτελέσματα χωρίς επαναλαμβανόμενα ψηφία.

Η προέλευση του πιθανώς πηγάζει από τους 12 σεληνιακούς κύκλους του έτους, καθώς και από το γεγονός ότι υπάρχει 12 φάλαγγες (αρθρώσεις, οι οριζόντιες γραμμές των δαχτύλων) στα 4 δάχτυλα του χεριού εκτός του αντίχειρα. Σε κάποιες περιοχές της Ασίας η μέτρηση με το ένα χέρι γίνεται έως το 12 με την καταμέτρηση των φαλαγγών των δαχτύλων και τον αντίχειρα να χρησιμοποιείται ως δείκτης της καταμέτρησης, κάτι που εξηγεί την προέλευση του δωδεκαδικού συστήματος καθώς και των πολλαπλάσιων της αριθμητικής βάσης του 12 όπως π.χ. το εξηνταδικό σύστημα.Επιπλέον, το δωδεκαδικό σύστημα είναι ενσωματωμένο σε διάφορα αριθμητικά συστήματα γλωσσών, όπως διάφορες γλώσσες της Νιγηρίας (Τζάντζι, Γκμπίρι-Νιράγκου, Πίτι, Γκουαντάρα), τη γλώσσα Τσεπάνγκ στο Νεπάλ, και τη γλώσσα Ντιβέχι στις Μαλδίβες και περιοχές της Ινδίας.

Μονάδες μέτρησης

Ιστορικά, οι μονάδες μέτρησης χρόνου σε πολλούς πολιτισμούς υπήρξαν δωδεκαδικές, κάτι που καταδεικνύεται από το γεγονός ότι υπάρχουν 12 μήνες και ζωδιακά σύμβολα σε ένα έτος, ενώ οι Βαβυλώνιοι χρησιμοποιούσαν 12 ώρες εντός της ημέρας και αργότερα μετατράπηκε σε 24 όπως και στη σύγχρονη εποχή. Στο παραδοσιακό κινεζικό ημερολόγιο τα ωρολόγια και οι πυξίδες βασίζονται επίσης στο δωδεκαδικό σύστημα.

Σε ότι αφορά τη μέτρηση χώρου και διαστάσεων, το σύστημα κλασμάτων των Ρωμαίων βασίζονταν στο 12, και από εκεί προέκυψε η ουγγιά. Στο βρετανικό αυτοκρατορικό σύστημα μέτρησης το αυτοκρατορικό πόδι απαρτίζεται από 12 ίντσες, μια λίβρα τρόυ αποτελείται από 12 ουγγιές τρόυ, ένα βρετανικό σελίνι απαρτίζεται από 12 παλαιές βρετανικές πένες, ενώ στο νομισματικό σύστημα υπήρχαν διάφορες επιπλέον υποδιαιρέσεις και πολλαπλάσια (π.χ. 240 πένες = 20 σελίνια). Το δεκαδικό σύστημα με τη μορφή του μετρικού συστήματος αντικατέστησε σε μεγάλο βαθμό το δωδεκαδικό με προέλευση τη Γαλλία, καθώς ιδιαίτερα μετά τη γαλλική επανάσταση οι Γάλλοι επαναστάτες υπήρξαν ακραία υπέρ του δεκαδικού συστήματος αντικαθιστώντας το δωδεκαδικό παντού και φτάνοντας έως το σημείο να ορίσουν εβδομάδες 10 ημερών (γαλλικό δημοκρατικό ημερολόγιο) και ώρες των 100 λεπτών.

Στη χρωματική κλίμακα, υπάρχουν 12 τονικά ύψη σε χαμηλές και υψηλές νότες, κάτι που πηγάζει από την αρχική μουσική κλίμακα των Πυθαγορείων.

Αναπαραστάσεις ψηφίων

Εναλλακτική μορφή αναπαράστασης του έντεκα στο δωδεκαδικό σύστημα με τη μορφή του ανεστραμμένου 3

Σε κάποιες μορφές του δωδεκαδικού συστήματος, ο αριθμός δέκα γράφεται με τη μορφή καθέτως ανεστραμμένου 2, ενώ ο αριθμός έντεκα ως καθέτως ανεστραμμένο 3. Η χρήση των συμβόλων αυτών είναι βρετανικής προέλευσης, και τα σύμβολα αυτά διαθέτουν τη δική τους καταχώρηση στο πρότυπο Unicode από τον Ιούνιο του 2015 (↊ με κωδικό 218A, και ↋ με κωδικό 218B).Μια παλαιότερη μορφή αναπαραστάσεων αμερικανικής προέλευσης αποτελούν τα σύμβολα X και ℰ. Γενικά οι παραστάσεις αυτές προέρχονται από συλλόγους δωδεκαδιστών οι οποίοι δραστηριοποιούνται στην προώθηση και εκμάθηση του δωδεκαδικού συστήματος αρίθμησης με απώτατο στόχο την αντικατάσταση του δεκαδικού συστήματος με το δωδεκαδικό.

Κατά τη σύμβαση με τις υπόλοιπες αναπαραστάσεων ψηφίων αριθμητικών βάσεων μεγαλύτερων του 10, εναλλακτικά χρησιμοποιούνται τα γράμματα του λατινικού αλφαβήτου, έτσι το δέκα αναπαριστάται ως A και το έντεκα ως B.

Υπάρχουν διάφορες άλλες αναπαραστάσεις, και σε κάποιες από αυτές τις περιπτώσεις χρησιμοποιείται το ελληνικό γράμμα δέλτα (δ) για το δέκα, και το ταυ (τ) ή έψιλον (ε) για το έντεκα.

Πίνακες τιμών

Αντιστοιχία δωδεκαδικών με δεκαδικούς αριθμούς

Εκατοντάδες χιλ.		Μυριάδες		Χιλιάδες		Εκατοντάδες		Δεκάδες		Μονάδες		Υπομονάδες		Υποδεκάδες
100.00010	Πρότυπο:Βάση	10.00010	Πρότυπο:Βάση	1.00010	Πρότυπο:Βάση	10010	Πρότυπο:Βάση	1010	Πρότυπο:Βάση	110	Πρότυπο:Βάση	0,110	0,1Πρότυπο:Overline12	0,0110	0,0Πρότυπο:Overline12
200.00010	Πρότυπο:Βάση	20.00010	Πρότυπο:Βάση	2.00010	Πρότυπο:Βάση	20010	Πρότυπο:Βάση	2010	Πρότυπο:Βάση	210	Πρότυπο:Βάση	0,210	0,Πρότυπο:Overline12	0,0210	0,0Πρότυπο:Overline12
300.00010	Πρότυπο:Βάση	30.00010	Πρότυπο:Βάση	3.00010	Πρότυπο:Βάση	30010	Πρότυπο:Βάση	3010	Πρότυπο:Βάση	310	Πρότυπο:Βάση	0,310	0,3Πρότυπο:Overline12	0,0310	0,0Πρότυπο:Overline12
400.00010	Πρότυπο:Βάση	40.00010	Πρότυπο:Βάση	4.00010	Πρότυπο:Βάση	40010	Πρότυπο:Βάση	4010	Πρότυπο:Βάση	410	Πρότυπο:Βάση	0,410	0,Πρότυπο:Overline12	0,0410	0,Πρότυπο:Overline12
500.00010	Πρότυπο:Βάση	50.00010	Πρότυπο:Βάση	5.00010	Πρότυπο:Βάση	50010	Πρότυπο:Βάση	5010	Πρότυπο:Βάση	510	Πρότυπο:Βάση	0,510	0,612	0,0510	0,0Πρότυπο:Overline12
600.00010	Πρότυπο:Βάση	60.00010	Πρότυπο:Βάση	6.00010	Πρότυπο:Βάση	60010	Πρότυπο:Βάση	6010	Πρότυπο:Βάση	610	Πρότυπο:Βάση	0,610	0,Πρότυπο:Overline12	0,0610	0,0Πρότυπο:Overline12
700.00010	Πρότυπο:Βάση	70.00010	Πρότυπο:Βάση	7.00010	Πρότυπο:Βάση	70010	Πρότυπο:Βάση	7010	Πρότυπο:Βάση	710	Πρότυπο:Βάση	0,710	0,8Πρότυπο:Overline12	0,0710	0,0Πρότυπο:Overline12
800.00010	Πρότυπο:Βάση	80.00010	Πρότυπο:Βάση	8.00010	Πρότυπο:Βάση	80010	Πρότυπο:Βάση	8010	Πρότυπο:Βάση	810	Πρότυπο:Βάση	0,810	0,Πρότυπο:Overline	0,0810	0,Πρότυπο:Overline12
900.00010	Πρότυπο:Βάση	90.00010	Πρότυπο:Βάση	9.00010	Πρότυπο:Βάση	90010	Πρότυπο:Βάση	9010	Πρότυπο:Βάση	910	Πρότυπο:Βάση	0,910	0,AΠρότυπο:Overline12	0,0910	0,1Πρότυπο:Overline12
1.000.00010	Πρότυπο:Βάση	100.00010	Πρότυπο:Βάση	10.00010	Πρότυπο:Βάση	1.00010	Πρότυπο:Βάση	10010	Πρότυπο:Βάση	1010	Πρότυπο:Βάση	110	Πρότυπο:Βάση	0,1010	0,1Πρότυπο:Overline12
1.010.00010	Πρότυπο:Βάση	110.00010	Πρότυπο:Βάση	11.00010	Πρότυπο:Βάση	1.10010	Πρότυπο:Βάση	11010	Πρότυπο:Βάση	1110	Πρότυπο:Βάση	1,110	1,1Πρότυπο:Overline	0,1110	0,11Πρότυπο:Overline12
1.020.00010	Πρότυπο:Βάση	120.00010	Πρότυπο:Βάση	12.00010	Πρότυπο:Βάση	1.20010	Πρότυπο:Βάση	12010	Πρότυπο:Βάση	1210	Πρότυπο:Βάση	1,210	1,2Πρότυπο:Overline12	0,1210	0,1Πρότυπο:Overline12

Πίνακας πολλαπλασιασμού

Δυνάμεις

Εκθέτης	2		3		4		5		6		7
	Δεκ.	Δωδ.	Δεκ.	Δωδ.	Δεκ.	Δωδ.	Δεκ.	Δωδ.	Δεκ.	Δωδ.	Δεκ.	Δωδ.
6	64	54	729	509	4.096	2454	15.625	9.061	46.656	23.000	117.649	58.101
5	32	28	243	183	1.024	714	3.125	1.985	7.776	4.600	16.807	9.887
4	16	14	81	69	256	194	625	441	1.296	900	2.401	1.481
3	8	8	27	23	64	54	125	B5	216	160	343	247
2	4	4	9	9	16	14	25	21	36	30	49	41
1	2	2	3	3	4	4	5	5	6	6	7	7
−1	0,5	0,6	0,Πρότυπο:Overline	0,4	0,25	0,3	0,2	0,Πρότυπο:Overline	0,1Πρότυπο:Overline	0,2	0,Πρότυπο:Overline	0,Πρότυπο:Overline
−2	0,25	0,3	0,Πρότυπο:Overline	0,14	0,0625	0,09	0,04	0,Πρότυπο:Overline	0,02Πρότυπο:Overline	0,04	0,Πρότυπο:Overline	0,Πρότυπο:Overline

Κλάσματα

Δεκαδική βάση Παράγοντες πρώτοι αριθμοί της βάσης: 2, 5 Παράγοντες πρώτοι αριθμοί ενός κάτω από τη βάση: 3 Παράγοντες πρώτοι αριθμοί ενός πάνω από τη βάση: 11 Όλοι οι υπόλοιποι πρώτοι: 7			Δωδεκαδική βάση Παράγοντες πρώτοι αριθμοί της βάσης: 2, 3 Παράγοντες πρώτοι αριθμοί ενός κάτω από τη βάση: A Παράγοντες πρώτοι αριθμοί ενός πάνω από τη βάση: 11 Όλοι οι υπόλοιποι πρώτοι: 7
Κλάσμα	Παράγοντες πρώτοι αριθμοί παρονομαστή	Θεσιακή αναπαράσταση	Θεσιακή αναπαράσταση	Παράγοντες πρώτοι αριθμοί παρονομαστή	Κλάσμα
1/2	2	0,5	0,6	2	1/2
1/3	3	0,Πρότυπο:Overline	0,4	3	1/3
1/4	2	0,25	0,3	2	1/4
1/5	5	0,2	0,Πρότυπο:Overline	5	1/5
1/6	2, 3	0,1Πρότυπο:Overline	0,2	2, 3	1/6
1/7	7	0,Πρότυπο:Overline	0,Πρότυπο:Overline	7	1/7
1/8	2	0,125	0,16	2	1/8
1/9	3	0,Πρότυπο:Overline	0,14	3	1/9
1/10	2, 5	0,1	0,1Πρότυπο:Overline	2, 5	1/B
1/11	11	0,Πρότυπο:Overline	0,Πρότυπο:Overline	A	1/A
1/12	2, 3	0,08Πρότυπο:Overline	0,1	2, 3	1/10
1/13	13	0,Πρότυπο:Overline	0,Πρότυπο:Overline	11	1/11
1/14	2, 7	0,0Πρότυπο:Overline	0,0Πρότυπο:Overline	2, 7	1/12
1/15	3, 5	0,0Πρότυπο:Overline	0,0Πρότυπο:Overline	3, 5	1/13
1/16	2	0,0625	0,09	2	1/14
1/17	17	0,Πρότυπο:Overline	0,Πρότυπο:Overline	15	1/15
1/18	2, 3	0,0Πρότυπο:Overline	0,08	2, 3	1/16
1/19	19	0,Πρότυπο:Overline	0,Πρότυπο:Overline	17	1/17
1/20	2, 5	0,05	0,0Πρότυπο:Overline	2, 5	1/18
1/21	3, 7	0,Πρότυπο:Overline	0,0Πρότυπο:Overline	3, 7	1/19
1/22	2, 11	0,0Πρότυπο:Overline	0,0Πρότυπο:Overline	2, A	1/1B
1/23	23	0,Πρότυπο:Overline	0,Πρότυπο:Overline	1A	1/1A
1/24	2, 3	0,041Πρότυπο:Overline	0,06	2, 3	1/20
1/25	5	0,04	0,Πρότυπο:Overline	5	1/21
1/26	2, 13	0,0Πρότυπο:Overline	0,0Πρότυπο:Overline	2, 11	1/22
1/27	3	0,Πρότυπο:Overline	0,054	3	1/23
1/28	2, 7	0,03Πρότυπο:Overline	0,0Πρότυπο:Overline	2, 7	1/24
1/29	29	0,Πρότυπο:Overline	0,Πρότυπο:Overline	25	1/25
1/30	2, 3, 5	0,0Πρότυπο:Overline	0,0Πρότυπο:Overline	2, 3, 5	1/26
1/31	31	0,Πρότυπο:Overline	0,Πρότυπο:Overline	27	1/27
1/32	2	0,03125	0,046	2	1/28
1/33	3, 11	0,Πρότυπο:Overline	0,0Πρότυπο:Overline	3, A	1/29
1/34	2, 17	0,0Πρότυπο:Overline	0,0Πρότυπο:Overline	2, 15	1/2B
1/35	5, 7	0,0Πρότυπο:Overline	0,Πρότυπο:Overline	5, 7	1/2A
1/36	2, 3	0,02Πρότυπο:Overline	0,04	2, 3	1/30

Άρρητοι αριθμοί

Αλγεβρικοί άρρητοι αριθμοί	Δεκαδικό σύστημα	Δωδεκαδικό σύστημα
√2 (το μήκος της διαγωνίου τετραγώνου 1x1)	1,41421356237309,,, (≈ 1,4142)	1,4A79170B07A857,,, (≈ 1,5)
√3 (το μήκος της διαγωνίου του κύβου, ή το διπλάσιο του ύψους ενός ισόπλευρου τριγώνου)	1,73205080756887,,, (≈ 1,732)	1,894A97AA968704,,, (≈ 1,895)
√5 (το μήκος της διαγωνίου σε ορθογώνιο 1×2)	2,2360679774997,,, (≈ 2,236)	2,29AA132540589,,, (≈ 2,2B)
φ (η χρυσή τομή = $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$)	1,6180339887498,,, (≈ 1,618)	1,74AA6772802B4,,, (≈ 1,75)
Υπερβατικοί άρρητοι αριθμοί	Δεκαδικό σύστημα	Δωδεκαδικό σύστημα
π (αναλογία της περιφέρειας προς τη διάμετρο)	3,1415926535897932384626433 8327950288419716939937510,,, (≈ 3,1416)	3,184809493A918664573B6211A A151551B05729290B7809B492,,, (≈ 3,1848)
e (η βάση του φυσικού λογάριθμου)	2,718281828459045,,, (≈ 2,718)	2,8752360698219A8,,, (≈ 2,875)

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Πρότυπο:En Dozenal Society of America
• Πρότυπο:En Dozenal Society of Great Britain