Εικασία Αγκόχ-Γκιούγκα

Στη θεωρία των αριθμών η εικασία Αγκόχ-Γκιούγκα για τους αριθμούς Μπερνούλι B_k υποστηρίζει ότι ο p είναι πρώτος αριθμός αν και μόνο αν

$p{B}_{p-1}\equiv -1(\mathrm{mod}p).$

Η εικασία πήρε το όνομά της από τους Τακάσι Αγκόχ και Τζουζέπε Γκιούγκα.

Ισοδύναμη διατύπωση

Η εικασία όπως διατυπώθηκε παραπάνω οφείλεται στον Τακάσι Αγκόχ (1990)- μια ισοδύναμη διατύπωση οφείλεται στον Τζουζέπε Γκιούγκα, από το 1950, σύμφωνα με την οποία το p είναι πρώτος αριθμός αν και μόνο αν

$1^{p-1}+2^{p-1}+\cdots +(p-1{)}^{p-1}\equiv -1(\mathrm{mod}p)$

το οποίο μπορεί επίσης να γραφτεί ως

$\sum _{i=1}^{p-1}{i}^{p-1}\equiv -1(\mathrm{mod}p).$

Είναι τετριμμένο να δείξουμε ότι το να είναι το p πρώτος αριθμός αρκεί για να ισχύει η δεύτερη ισοδυναμία, αφού αν το p είναι πρώτος αριθμός, το μικρό θεώρημα του Φερμά δηλώνει ότι

$a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$

για $a=1,2,\dots ,p-1$, και η ισοδυναμία προκύπτει, αφού $p-1\equiv -1(\mathrm{mod}p).$

Κατάσταση

Η δήλωση εξακολουθεί να αποτελεί εικασία, καθώς δεν αποδείχθηκε ακόμη ότι αν ένας αριθμός n δεν είναι πρώτος (δηλαδή ο n είναι σύνθετος), τότε ο τύπος δεν ισχύει. Έγινε αποδεκτό ότι ένας σύνθετος αριθμός n ικανοποιεί τον τύπο αν και μόνο αν είναι και αριθμός Καρμάικλ και αριθμός Γκιούγκα, και ότι αν υπάρχει τέτοιος αριθμός, έχει τουλάχιστον 13.800 ψηφία (Borwein, Borwein, Borwein, Girgensohn 1996). Ο Λαέρτ Σορίνι, τέλος, σε μια εργασία του 2001 έδειξε ότι ένα πιθανό αντιπαράδειγμα θα πρέπει να είναι ένας αριθμός n μεγαλύτερος από   10³⁶⁰⁶⁷, ο οποίος αντιπροσωπεύει το όριο που πρότεινε ο Μπεντόκι για την τεχνική επίδειξης που προσδιόρισε ο Γκιούγκα στη δική του εικασία.

Σχέση με το θεώρημα του Γουίλσον

Η εικασία Αγκόχ-Γκιούγκα παρουσιάζει ομοιότητα με το θεώρημα του Γουίλσον, το οποίο έχει αποδειχθεί αληθές. Το θεώρημα του Γουίλσον δηλώνει ότι ένας αριθμός p είναι πρώτος αν και μόνο αν

το οποίο μπορεί επίσης να γραφτεί ως

$\prod _{i=1}^{p-1}i\equiv -1(\mathrm{mod}p).$

Για έναν περιττό πρώτο αριθμό p έχουμε

$\prod _{i=1}^{p-1}{i}^{p-1}\equiv (-1{)}^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p),$

και για p=2 έχουμε

$\prod _{i=1}^{p-1}{i}^{p-1}\equiv (-1{)}^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p).$

Έτσι, η αλήθεια της εικασίας Αγκόχ-Γκιούγκα σε συνδυασμό με το θεώρημα του Γουίλσον θα έδινε: ένας αριθμός p είναι πρώτος αν και μόνο αν

$\sum _{i=1}^{p-1}{i}^{p-1}\equiv -1(\mathrm{mod}p)$

και

$\prod _{i=1}^{p-1}{i}^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p).$

Παραδείγματα

Παράδειγμα 1:

Έστω $n:=30.$

Τότε το $n$ dέχει τους πρώτους διαιρέτες $p=2,3$ και $5$. Ισχύουν τα ακόλουθα::

$\begin{array}{ccccccc}p=2& \text{διαιρεί το}& \frac{n}{p}-1=\frac{30}{2}-1& =& 15-1& =& 14\\ p=3& \text{διαιρεί το}& \frac{n}{p}-1=\frac{30}{3}-1& =& 10-1& =& 9\\ p=5& \text{διαιρεί το}& \frac{n}{p}-1=\frac{30}{5}-1& =& 6-1& =& 5\end{array}$

Επομένως, $n=30$ είναι ένας αριθμός Γκιούγκα.

Παράδειγμα 2:

Οι πρώτοι επτά αριθμοί Γκιούγκα είναι οι εξής:

30, 858, 1722, 66198, 2214408306, 24423128562, 432749205173838 … (Πρότυπο:OEIS)

Τα στοιχεία της Γκιούγκα που είναι γνωστά μέχρι σήμερα

• 3 παράγοντες:
  • 30 = 2 · 3 · 5
• 4 παράγοντες:
  • 858 = 2 · 3 · 11 · 13
  • 1722 = 2 · 3 · 7 · 41
• 5 παράγοντες:
  • 66.198 = 2 · 3 · 11 · 17 · 59
• 6 παράγοντες:
  • 2.214.408.306 = 2 · 3 · 11 · 23 · 31 · 47.057
  • 24.423.128.562 = 2 · 3 · 7 · 43 · 3041 · 4447
• 7 παράγοντες:
  • 432.749.205.173.838 = 2 · 3 · 7 · 59 · 163 · 1381 · 775.807
  • 14.737.133.470.010.574 = 2 · 3 · 7 · 71 · 103 · 67.213 · 713.863
  • 550.843.391.309.130.318 = 2 · 3 · 7 · 71 · 103 · 61.559 · 29.133.437
• 8 παράγοντες:
  • 244.197.000.982.499.715.087.866.346 = 2 · 3 · 11 · 23 · 31 · 47.137 · 28.282.147 · 3.892.535.183
  • 554.079.914.617.070.801.288.578.559.178 = 2 · 3 · 11 · 23 · 31 · 47.059 · 2.259.696.349 · 110.725.121.051
  • 1.910.667.181.420.507.984.555.759.916.338.506 = 2 · 3 · 7 · 43 · 1831 · 138.683 · 2.861.051 · 1.456.230.512.169.437
• 10 παράγοντες:
  • 4.200.017.949.707.747.062.038.711.509.670.656.632.404.195.753.751.630.609.228.764.416.142.557.211.582.098.432.545.190.323.474.818 = 2 · 3 · 11 · 23 · 31 · 47.059 · 2.217.342.227 · 1.729.101.023.519 · 8.491.659.218.261.819.498.490.029.296.021 · 58.254.480.569.119.734.123.541.298.976.556.403

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών

Δείτε επίσης

• Θεωρία αριθμών
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Φυσικός λογάριθμος
• Πρώτος αριθμός Μερσέν
• e (μαθηματική σταθερά)
• Πρώτος αριθμός
• Δίδυμοι πρώτοι αριθμοί
• Γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν
• Φυσικός αριθμός
• Εικασία του Λεζάντρ
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Αριθμητική πρόοδος
• Συνάρτηση Όιλερ
• Ευκλείδειος χώρος

Βιβλιογραφία

• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book

Παραπομπές

• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
•  Giuga, Giuseppe (1951). "Su una presumibile proprietà caratteristica dei numeri primi". Ist.Lombardo Sci. Lett., Rend., Cl. Sci. Mat. Natur. (in Italian). 83: 511–518. Πρότυπο:ISSN Zbl 0045.01801.
•   Agoh, Takashi (1995). "On Giuga's conjecture". Manuscripta Mathematica. 87 (4): 501–510. doi:10.1007/bf02570490. Zbl 0845.11004.
•  Borwein, D.; Borwein, J. M.; Borwein, P. B.; Girgensohn, R. (1996). "Giuga's Conjecture on Primality" (PDF). American Mathematical Monthly. 103 (1): 40–50. CiteSeerX 10.1.1.586.1424. doi:10.2307/2975213. JSTOR 2975213. Zbl 0860.11003. Archived from the original (PDF) on 2005-05-31. Retrieved 2005-05-29.
• Sorini, Laerte (2001). "Un Metodo Euristico per la Soluzione della Congettura di Giuga". Quaderni di Economia, Matematica e Statistica, DESP, Università di Urbino Carlo Bo (in Italian). 68. Πρότυπο:ISSN

Πηγές

• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation