Εικασία του Όπερμαν

Από testwiki
Μετάβαση στην πλοήγηση Πήδηση στην αναζήτηση
Άλυτο πρόβλημα στα μαθηματικά:

Κάθε ζεύγος ενός τετραγωνικού αριθμού και
ενός προμήκου αριθμού[1] (και
οι δύο μεγαλύτεροι από το ένα) χωρίζεται
από τουλάχιστον έναν πρώτο αριθμό.

Στα μαθηματικά, η εικασία Όπερμαν[2] είναι ένα άλυτο πρόβλημα σχετικά με την κατανομή των πρώτων αριθμών[3]. Σχετίζεται στενά με τις εικασίες των Λεζάντρ, Αντρίκα και Μπροκάρντ, αλλά είναι ισχυρότερη από αυτές. Πήρε το όνομά της από τον Δανό μαθηματικό Λούντβιγκ Όπερμαν[4], ο οποίος την ανακοίνωσε σε μια αδημοσίευτη διάλεξη τον Μάρτιο του 1877. [5].

Δήλωση

Η εικασία δηλώνει ότι, για κάθε ακέραιο x > 1, υπάρχει τουλάχιστον ένας πρώτος αριθμός μεταξύ

x(x − 1) και x2,

και τουλάχιστον ένας άλλος πρώτος μεταξύ

x2 και x(x + 1).

Μπορεί επίσης να διατυπωθεί ισοδύναμα ως η δήλωση ότι η συνάρτηση καταμέτρησης πρώτων υλών πρέπει να λαμβάνει άνισες τιμές στα τελικά σημεία κάθε περιοχής.[6] Δηλαδή:

Πρότυπο:Pi(x2 − x) < Πρότυπο:Pi(x2) < Πρότυπο:Pi(x2 + x) για x > 1

με Πρότυπο:Pi(x)είναι ο αριθμός των πρώτων αριθμών που είναι μικρότεροι ή ίσοι με x. Τα τελικά σημεία αυτών των δύο περιοχών είναι ένα τετράγωνο μεταξύ δύο προμήκων αριθμών[1], με κάθε έναν από τους προμήκους αριθμούς[1] να είναι διπλάσιος ενός τριγωνικού αριθμού ζεύγους. Το άθροισμα του ζεύγους τριγωνικών αριθμών είναι το τετράγωνο.

Συνέπειες

Αν η εικασία είναι αληθής, τότε το μέγεθος του κενού θα είναι της τάξης των

gn<pn.

Αυτό σημαίνει επίσης ότι θα υπάρχουν τουλάχιστον δύο πρώτοι μεταξύ x2 and (x + 1)2 (ένας στην περιοχή από x2 έως x(x + 1) και ο δεύτερος στην περιοχή από x(x + 1) έως (x + 1)2), ενισχύοντας την εικασία του Λεζάντρ ότι υπάρχει τουλάχιστον ένας πρώτος στην περιοχή αυτή. Επειδή υπάρχει τουλάχιστον ένας μη πρώτος αριθμός μεταξύ δύο οποιωνδήποτε περιττών πρώτων αριθμών, αυτό θα συνεπαγόταν επίσης την εικασία του Μπροκάρντ ότι υπάρχουν τουλάχιστον τέσσερις πρώτοι αριθμοί μεταξύ των τετραγώνων διαδοχικών περιττών πρώτων αριθμών.[3] Επιπλέον, θα συνεπαγόταν ότι τα μεγαλύτερα δυνατά κενά μεταξύ δύο διαδοχικών πρώτων αριθμών θα μπορούσαν να είναι το πολύ ανάλογα με το διπλάσιο της τετραγωνικής ρίζας των αριθμών, όπως αναφέρει η εικασία του Αντρίκα.

Η εικασία συνεπάγεται επίσης ότι τουλάχιστον ένας πρώτος αριθμός μπορεί να βρεθεί σε κάθε τέταρτο της σπείρας του Ούλαμ.

Κατάσταση

Ακόμη και για μικρές τιμές του x, ο αριθμός των πρώτων αριθμών στις περιοχές που δίνει η εικασία είναι πολύ μεγαλύτερος από 1, γεγονός που παρέχει ισχυρή απόδειξη ότι η εικασία είναι αληθής. Ωστόσο, η εικασία του Όπερμαν δεν έχει αποδειχθεί το 2018 .[3]

Παρά ταύτα οι μαθηματικοί συνεχίζουν να διερευνούν και να ελέγχουν αυτή την εικασία χρησιμοποιώντας αριθμητικούς υπολογισμούς και νέες θεωρητικές τεχνικές. Αν και έχουν συγκεντρωθεί αδιάσειστα στοιχεία που βασίζονται σε υπολογισμούς και παρατηρήσεις, μια επίσημη απόδειξη παραμένει προς το παρόν άπιαστη.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Δείτε επίσης

Βιβλιογραφία

Παραπομπές

Πρότυπο:Reflist

Πηγές

Πρότυπο:Portal bar Πρότυπο:Authority control

  1. ↑ 1,0 1,1 1,2 Πρότυπο:Cite web
  2. ↑ Πρότυπο:Cite web
  3. ↑ 3,0 3,1 3,2 David Wells, Prime Numbers : The Most Mysterious Figures in Math, John Wiley & Sons, 2011, 288 p. (ISBN 978-1-118-04571-8), p. 164.
  4. ↑ Πρότυπο:Cite journal
  5. ↑ Oppermann, L. (1882), "Om vor Kundskab om Primtallenes Mængde mellem givne Grændser", Oversigt over Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskabs Forhandlinger og Dets Medlemmers Arbejder: 169–179
  6. ↑ Πρότυπο:Citation.
Ανακτήθηκε από «https://el.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Εικασία_του_Όπερμαν&oldid=3032»