Εικασία του Κράμερ

Στη θεωρία των αριθμών, η εικασία του Κράμερ, που διατυπώθηκε από τον Σουηδό μαθηματικό Χάραλντ Κράμερ το 1936, είναι μια εκτίμηση για το μέγεθος των αποστάσεων μεταξύ διαδοχικών πρώτων αριθμών: διαισθητικά, οι αποστάσεις μεταξύ διαδοχικών πρώτων αριθμών είναι πάντα μικρες και η εικασία ποσοτικοποιεί ασυμπτωτικά πόσο μικρες πρέπει να είναι. Δηλώνει ότι

$p_{n+1}-p_n=O((\log p_n{)}^2),$

όπου p_n δηλώνει τον n-th πρώτο αριθμό, O είναι ο συμβολισμός big O και "log" είναι ο φυσικός λογάριθμος. Ενώ αυτή είναι η δήλωση που υποθέτει ρητά ο Κράμερ, η ευρετική του μέθοδος υποστηρίζει στην πραγματικότητα την ισχυρότερη δήλωση

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{p_{n+1}-p_n}{(\log p_n{)}^2}=1,$

και μερικές φορές αυτή η διατύπωση ονομάζεται εικασία του Κράμερ. Ωστόσο, αυτή η ισχυρότερη εκδοχή δεν υποστηρίζεται από ακριβέστερα ευρετικά μοντέλα, τα οποία ωστόσο υποστηρίζουν την πρώτη εκδοχή της εικασίας του Κράμερ.

Η ισχυρότερη μορφή όλων, η οποία δεν υποστηρίχθηκε ποτέ από τον Κράμερ, αλλά είναι αυτή που χρησιμοποιείται στους υπολογισμούς πειραματικής επαλήθευσης και στο σχεδιάγραμμα αυτού του άρθρου, είναι απλώς

$p_{n+1}-p_n<(\log p_n{)}^2.$

Καμία από τις τρεις μορφές δεν έχει ακόμη αποδειχθεί ή διαψευστεί.

Υπό όρους αποδεδειγμένα αποτελέσματα για τα πρωτεύοντα κενά

Ο Κράμερ έδωσε μια υπό όρους απόδειξη της πολύ ασθενέστερης δήλωσης ότι

$p_{n+1}-p_n=O(\sqrt{p_n}\log p_n)$

με την υπόθεση της υπόθεσης Ρίμαν. Το καλύτερο γνωστό άνευ όρων όριο είναι

$p_{n+1}-p_n=O(p_n^{0.525})$

που οφείλεται στους Μπέικερ, Χάρμαν και Πιντζ.

Προς την άλλη κατεύθυνση, ο Ε. Βεστίνθιος απέδειξε το 1931 ότι τα κενά των πρώτων αριθμών αυξάνονται περισσότερο από λογαριθμικά. Δηλαδή,

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{p_{n+1}-p_n}{\log p_n}=\mathrm{\infty }.$

Το αποτέλεσμά του βελτιώθηκε από τον Ρ. Α. Ράνκιν, ο οποίος απέδειξε ότι

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{p_{n+1}-p_n}{\log p_n}\cdot \frac{{(\log \log \log p_n)}^2}{\log \log p_n\log \log \log \log p_n}>0.$

Ο Πολ Ερντός υπέθεσε ότι η αριστερή πλευρά του παραπάνω τύπου είναι άπειρη, και αυτό αποδείχθηκε το 2014 από τους Κέβιν Φορντ, Μπεν Γκριν, Σεργκέι Κονιάγκιν και Τέρενς Τάο, και ανεξάρτητα από τον Τζέιμς Μέιναρντ. Οι δύο ομάδες συγγραφέων εξάλειψαν έναν από τους παράγοντες του $\log \log \log p_n$ αργότερα την ίδια χρονιά, δείχνοντας ότι, άπειρες φορές,

$p_{n+1}-p_n>\frac{c\cdot \log p_n\cdot \log \log p_n\cdot \log \log \log \log p_n}{\log \log \log p_n}$

όπου $c>0$ είναι κάποια σταθερά.

Ευρετική αιτιολόγηση

Η εικασία του Κράμερ βασίζεται σε ένα πιθανοτικό μοντέλο - ουσιαστικά μια ευρετική μέθοδος - σύμφωνα με την οποία η πιθανότητα ένας αριθμός μεγέθους x να είναι πρώτος είναι 1/log x. Αυτό είναι γνωστό ως το τυχαίο μοντέλο Κράμερ ή μοντέλο Κράμερ των πρώτων αριθμών.

Στο τυχαίο μοντέλο Κράμερ,

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{p_{n+1}-p_n}{{\log }^2{p}_n}=1$

με πιθανότητα ένα. Ωστόσο, όπως επισημαίνεται από τον Άντριου Γκράνβιλ, το θεώρημα του Μάιερ δείχνει ότι το τυχαίο μοντέλο Κράμερ δεν περιγράφει επαρκώς την κατανομή των πρώτων αριθμών σε μικρά διαστήματα, και μια βελτίωση του μοντέλου Κράμερ που λαμβάνει υπόψιν τη διαιρετότητα με μικρούς πρώτους αριθμούς υποδηλώνει ότι το όριο δεν πρέπει να είναι 1, αλλά μια σταθερά $c\ge 2e^{-\gamma }\approx 1.1229\dots$ (Πρότυπο:OEIS2C), όπου $\gamma$ είναι η σταθερά Όιλερ-Μασκερόνι. Ο Γιάνος Πιντς πρότεινε ότι το όριο sup μπορεί να είναι άπειρο και ομοίως οι Λεονάρντ Άντλεμαν και Κέβιν ΜακΚέρλι γράφουν

Ως αποτέλεσμα της εργασίας του Χ. Μάιερ σχετικά με τις αποστάσεις μεταξύ διαδοχικών πρώτων αριθμών, η ακριβής διατύπωση της εικασίας του Κράμερ τέθηκε υπό αμφισβήτηση [... ] Πιθανώς εξακολουθεί να ισχύει ότι για κάθε σταθερά $c>2$, υπάρχει μια σταθερά$d>0$ τέτοια ώστε να υπάρχει ένας πρώτος μεταξύ $x$ και $x+d(\log x{)}^c$..

Παρομοίως, ο Ρόμπιν Βίσερ γράφει

Στην πραγματικότητα, λόγω της εργασίας που έκανε ο Γκρανβίλ, πιστεύεται πλέον ευρέως ότι η εικασία του Κράμερ είναι λανθασμένη. Πράγματι, [υπάρχουν] ορισμένα θεωρήματα που αφορούν μικρά διαστήματα μεταξύ πρώτων αριθμών, όπως το θεώρημα του Μάιερ, τα οποία έρχονται σε αντίθεση με το μοντέλο του Κράμερ.

(οι εσωτερικές παραπομπές αφαιρέθηκαν).

Σχετικές εικασίες και ευρετικές μέθοδοι

Συνάρτηση καταμέτρησης πρώτων αριθμών

Ο Ντανιέλ Σανκς υπέθεσε την ακόλουθη ασυμπτωτική ισότητα, ισχυρότερη από την εικασία του Κράμερ, για ρεκόρ αποστάσεων: $G(x)\sim {\log }^{2}x.$

Ο Τζ. Χ. Κάντγουελ πρότεινε τον τύπο για τις μέγιστες αποστάσεις: $G(x)\sim {\log }^{2}x-\log x\log \log x,$ ο οποίος είναι τυπικά ταυτόσημος με την εικασία του Σανκς αλλά προτείνει έναν όρο χαμηλότερης τάξης.

Ο Μάρεκ Βολφ πρότεινε τον τύπο για τις μέγιστες αποστάσεις $G(x)$ που εκφράζονται με βάση τη Συνάρτηση καταμέτρησης πρώτων αριθμών $\pi (x)$:

$G(x)\sim \frac{x}{\pi (x)}(2\log \pi (x)-\log x+c),$

όπου $c=\log (2C_2)=0.2778769...$ και $C_2=0.6601618...$ είναι η σταθερά των δίδυμων πρώτων, βλέπε Πρότυπο:OEIS2C, Πρότυπο:OEIS link. Αυτό είναι και πάλι τυπικά ισοδύναμο με την εικασία του Σανκς, αλλά υποδηλώνει όρους χαμηλότερης τάξης.

$G(x)\sim {\log }^{2}x-2\log x\log \log x-(1-c)\log x.$.

Ο Τόμας Νίκελι υπολόγισε πολλες μεγάλες πρωτεύοντες αποστάσεις. Μετράει την ποιότητα της προσαρμογής στην εικασία του Κράμερ μετρώντας τον λόγο

$R=\frac{\log p_n}{\sqrt{p_{n+1}-p_n}}.$

Γράφει, «Για τις μεγαλύτερες γνωστές μέγιστες αποστάσεις, το $R$} παραμείνει κοντά στο 1,13».

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών

Δείτε επίσης

• Θεωρία αριθμών
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Φυσικός λογάριθμος
• Υπόθεση Ρίμαν
• Συνάρτηση ζήτα Ρίμαν
• Πρώτος αριθμός
• Τέρενς Τάο
• Ευρετική
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Χώρος Χίλμπερτ
• Ντάβιντ Χίλμπερτ
• Ευκλείδειος χώρος

Βιβλιογραφία

• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book

Παραπομπές

• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite journal

Πηγές

• Πρότυπο:Cite web
• Πρότυπο:Cite web
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite web
• Πρότυπο:Cite web