Εικασία του Πολινιάκ

Στη θεωρία των αριθμών, η εικασία του Πολινιάκ διατυπώθηκε από τον Aλφόνς ντε Πολινιάκ το 1849 και έχει ως εξής:

Για κάθε θετικός Άρτιος αριθμός n, υπάρχουν άπειρα κενά πρώτων αριθμών μεγέθους n. Με άλλα λόγια, υπάρχουν άπειρες πολλές περιπτώσεις όπου δύο διαδοχικοί πρώτοι αριθμοί έχουν διαφορά n.

Αν και η εικασία δεν έχει ακόμη αποδειχθεί ή διαψευστεί για οποιαδήποτε δεδομένη τιμή του n, ο Γιτάνγκ Ζανγκ έκανε μια σημαντική ανακάλυψη το 2013 αποδεικνύοντας ότι υπάρχουν άπειρες πολλές διαφορές μεγέθους n για μια τιμή του n < 70.000.000. Λίγο αργότερα την ίδια χρονιά, ο Τζέιμς Μέιναρντ ανακοίνωσε μια σχετική ανακάλυψη αποδεικνύοντας ότι υπάρχουν άπειρα πολλά κενά μεγέθους 600 ή λιγότερο . Από τις 14 Απριλίου 2014, ένα χρόνο μετά την ανακοίνωση του Ζανγκ, σύμφωνα με το wiki του έργου Polymath, το n έχει μειωθεί σε 246. Επιπλέον, υποθέτοντας την εικασία Έλιοτ-Χάλμπερσταμ και τη γενικευμένη μορφή της, το wiki του έργου Polymath αναφέρει ότι το n έχει μειωθεί σε 12 και 6, αντίστοιχα.

Για n = 2, αυτή είναι η εικασία των δίδυμων πρώτων. Για n = 4, δηλώνει ότι υπάρχουν απείρως πολλοί πρώτοι αριθμοι Κουσίν (p, p + 4). Για n = 6, σημειώνει ότι υπάρχουν απείρως πολλοί σέξι πρώτοι (p, p + 6) χωρίς να υπάρχουν πρώτοι μεταξύ p και p + 6.

Υποθετική πυκνότητα

Έστω ${\pi }_n(x)$ για άρτιο n ο αριθμός των πρώτων κενών μεγέθους n κάτω από το x.

Η πρώτη εικασία Χάρντι-Λίτλγουντ λέει ότι η ασυμπτωτική πυκνότητα είναι της μορφής

${\pi }_n(x)\sim 2C_n\frac{x}{(\ln x{)}^2}\sim 2C_n\underset{2}{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{(\ln t{)}^2}$

όπου C_n είναι μια συνάρτηση του n, και $\sim$ σημαίνει ότι το πηλίκο δύο εκφράσεων τείνει στο 1 καθώς το x πλησιάζει στο άπειρο.

C₂ είναι η δίδυμη πρώτη σταθερά

$C_2=\prod _{p\ge 3}\frac{p(p-2)}{(p-1{)}^2}\approx 0.660161815846869573927812110014\dots$

όπου το γινόμενο εκτείνεται σε όλους τους πρώτους αριθμούς p ≥ 3.

Το C_n είναι το C₂ πολλαπλασιασμένο με έναν αριθμό που εξαρτάται από τους περιττούς πρώτους παράγοντες q of n:

$C_n=C_2\prod _{q|n}\frac{q-1}{q-2}.$

Παραδείγματος χάριν, C4 = C2 και C6 = 2C2. Οι δίδυμοι πρώτοι έχουν την ίδια εικαζόμενη πυκνότητα με τους πρώτους Κουσίν και τη μισή πυκνότητα των σέξι πρώτων.

Ας σημειωθεί ότι κάθε περιττός πρώτος παράγοντας q του n αυξάνει την εικαζόμενη πυκνότητα σε σύγκριση με τους δίδυμους πρώτους κατά έναν παράγοντα $\frac{q-1}{q-2}$. Ακολουθεί ένα ευρετικό επιχείρημα. Βασίζεται σε ορισμένες αναπόδεικτες υποθέσεις, οπότε το συμπέρασμα παραμένει εικασία. Η πιθανότητα ένας τυχαίος περιττός πρώτος q να διαιρεί είτε το a είτε το a + 2 σε ένα τυχαίο «δυνητικό» δίδυμο ζεύγος πρώτων αριθμών είναι $\frac{2}{q}$, αφού το q διαιρεί έναν από τους q αριθμούς από το a έως το a + q − 1. Τώρα ας υποθέσουμε ότι το q διαιρεί το n και ας θεωρήσουμε ένα δυνητικό πρώτο ζεύγος (a, a + n). Το q διαιρεί το a + n αν και μόνο αν το q διαιρεί το a, και η πιθανότητα να συμβεί αυτό είναι $\frac{1}{q}$. Η πιθανότητα το (a, a + n) να είναι απαλλαγμένο από τον παράγοντα q, διαιρούμενη με την πιθανότητα το (a, a + 2) να είναι απαλλαγμένο από τον q, γίνεται τότε $\frac{q-1}{q}$ διαιρούμενη με $\frac{q-2}{q}$. Αυτό ισούται με$\frac{q-1}{q-2}$ το οποίο μεταφέρεται στην εικαζόμενη πυκνότητα των πρώτων. Στην περίπτωση του n = 6, το επιχείρημα απλοποιείται ως εξής: Αν το a είναι ένας τυχαίος αριθμός, τότε το 3 έχει πιθανότητα 2/3 να διαιρέσει το a ή το a + 2 αλλά μόνο πιθανότητα 1/3 να διαιρέσει το a και το a + 6, οπότε το τελευταίο ζεύγος εικάζεται διπλάσια πιθανότητα να είναι και τα δύο πρώτοι.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών

Δείτε επίσης

• Θεωρία αριθμών
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Φυσικός λογάριθμος
• Πρώτος αριθμός Μερσέν
• e (μαθηματική σταθερά)
• Πρώτος αριθμός
• Δίδυμοι πρώτοι αριθμοί
• Γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν
• Φυσικός αριθμός
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Αριθμητική πρόοδος
• Συνάρτηση Όιλερ
• Ευκλείδειος χώρος

Βιβλιογραφία

• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book

Παραπομπές

• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book Reprinted by Chelsea Publishing, New York, 1971, ISBN 0-8284-0086-5.
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book

Πηγές

• Alphonse de Polignac, Recherches nouvelles sur les nombres premiers. Comptes Rendus des Séances de l'Académie des Sciences (1849)
• Πρότυπο:MathWorld
• Πρότυπο:MathWorld
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation