Ενελικτικός πίνακας

Στη γραμμική άλγεβρα, ένας πίνακας $A$ είναι ενελικτικός αν είναι αντίστροφος του εαυτού του, δηλαδή

$A^2=I$,

όπου $I$ είναι ο μοναδιαίος πίνακας.

Όλοι οι ενελικτικοί πίνακες είναι τετραγωνικές ρίζες του μοναδιαίου πίνακα. Αυτό είναι απλά μια συνέπεια του γεγονότος ότι κάθε αντιστρέψιμος πίνακας πολλαπλασιαζόμενος επί του αντιστρόφου του ισούται με τον μοναδιαίο.

Παραδείγματα

• Μερικά συγκεκριμένα παραδείγματα ενελικτικών πινάκων είναι τα εξής:

$A=\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right],$$B=\left[\begin{array}{cc}3& -4\\ 2& -3\end{array}\right],$$C=\left[\begin{array}{ccc}-5& -8& 0\\ 3& 5& 0\\ 1& 2& -1\end{array}\right].$

• Ο μοναδιαίος πίνακας είναι ενελικτικός καθώς

$I\cdot I=I.$

• Πιο γενικά, ένας πίνακας $2\times 2$ είναι ενελικτικός ανν έχει την εξής μορφή:

$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& -a\end{array}\right]$ με $a^2+bc=1$ ή $\left[\begin{array}{cc}\pm 1& 0\\ 0& \pm 1\end{array}\right].$

Ιδιότητες

• Η ορίζουσα ενός ενελικτικού πίνακα $A$ είναι $\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(A)=\pm 1$.

• Ένας πινακας $A$ είναι ενελικτικός ανν ο $P=\frac{I\pm A}{2}$ είναι ταυτοδύναμος.

• Οι δυνάμεις ενός ενελικτικού πίνακα $A$ δίνονται από

$A^n=\{\begin{array}{cc}A& \text{αν }n=1,\\ I& \text{διαφορετικά}.\end{array}$