Επιφάνεια Πεάνο

Πρότυπο της επιφάνειας Πεάνο στη συλλογή της Δρέσδης

Στα μαθηματικά, η επιφάνεια Πεάνο είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης με δύο μεταβλητές.

$f(x,y)=(2x^2-y)(y-x^2).$

Προτάθηκε από τον Τζουζέπε Πεάνο το 1899 ως αντιπαράδειγμα σε ένα εικαζόμενο κριτήριο για την ύπαρξη μεγίστων και ελαχίστων συναρτήσεων δύο μεταβλητών.

Η επιφάνεια ονομάστηκε επιφάνεια Πεάνο (γερμανικά: Peanosche Fläche) από τον Γκέοργκ Σέφερς το 1920 στο βιβλίο του Lehrbuch der darstellenden Geometrie του 1920 (Εγχειρίδιο περιγραφικής γεωμετρίας του 1920). Αποκαλείται επίσης σέλλα του Πεάνο.

Ιδιότητες

Η επιφάνεια Πεάνο και οι καμπύλες επίπεδου της για το επίπεδο 0 (παραβολές, πράσινο και μοβ)

Η συνάρτηση $f(x,y)=(2x^2-y)(y-x^2)$ της οποίας η γραφική παράσταση είναι η επιφάνεια παίρνει θετικές τιμές μεταξύ των δύο παραβολών $y=x^2$ και $y=2x^2$, και αρνητικές τιμές αλλού (βλέπε διάγραμμα). Στην αρχή, το τρισδιάστατο σημείο $(0,0,0)$ της επιφάνειας που αντιστοιχεί στο σημείο τομής των δύο παραβολών, η επιφάνεια έχει ένα σημείο σέλλας. Η ίδια η επιφάνεια έχει θετική καμπυλότητα Γκάους σε ορισμένα σημεία και αρνητική καμπυλότητα σε άλλα, τα οποία χωρίζονται από μια άλλη παραβολή, που σημαίνει ότι ο Γκαουσιανός της χάρτης έχει μια κορυφή Γουίτνεϊ.

Τομή της επιφάνειας Πεάνο με ένα κατακόρυφο επίπεδο. Η καμπύλη τομής έχει ένα τοπικό μέγιστο στην αρχή, στα δεξιά της εικόνας, και ένα συνολικό μέγιστο στα αριστερά της εικόνας, με ρηχή βύθιση μεταξύ αυτών των δύο σημείων.

Αν και η επιφάνεια δεν έχει τοπικό μέγιστο στην αρχή, η τομή της με οποιοδήποτε κατακόρυφο επίπεδο που διέρχεται από την αρχή (ένα επίπεδο με εξίσωση $y=mx$ ή $x=0$) είναι μια καμπύλη που έχει τοπικό μέγιστο στην αρχή, μια ιδιότητα που περιγράφεται από τον Ερλ Ρέιμοντ Χέντρικ (Earle Raymond Hedrick) ως "παράδοξη". Με άλλα λόγια, αν ένα σημείο ξεκινά από την αρχή $(0,0)$ του επιπέδου και απομακρύνεται από την αρχή κατά μήκος οποιασδήποτε ευθείας γραμμής, η τιμή του $(2x^2-y)(y-x^2)$ θα μειωθεί στην αρχή της κίνησης. Παρ' όλα αυτά, το $(0,0)$ δεν είναι τοπικό μέγιστο της συνάρτησης, διότι η κίνηση κατά μήκος μιας παραβολής όπως η $y=\sqrt{2}{x}^2$ (στο διάγραμμα: κόκκινο) θα προκαλέσει αύξηση της τιμής της συνάρτησης.

Ως αντιπαράδειγμα

Το 1886 ο Ζοζέφ Άλφρεντ Σερρέ δημοσίευσε ένα εγχειρίδιο με προτεινόμενα κριτήρια για τα ακραία σημεία μιας επιφάνειας που δίνονται από τη σχέση $z=f(x_0+h,y_0+k)$

"το μέγιστο ή το ελάχιστο λαμβάνει χώρα όταν για τις τιμές των $h$ και $k$ για τις οποίες τα $d^{2}f$ και $d^{3}f$ (τρίτος και τέταρτος όρος) εξαφανίζονται, το $d^{4}f$ (πέμπτος όρος) έχει συνεχώς το πρόσημο - , ή το πρόσημο +".

Εδώ, θεωρείται ότι οι γραμμικοί όροι εξαφανίζονται και η σειρά Τέιλορ του $f$ έχει τη μορφή $z=f(x_0,y_0)+Q(h,k)+C(h,k)+F(h,k)+\cdots$ όπου $Q(h,k)$ είναι μια τετραγωνική μορφή όπως $a{h}^2+bhk+c{k}^2$, $C(h,k)$ είναι μια κυβική μορφή με κυβικούς όρους στα $h$ και $k$, και $F(h,k)$ είναι μια τεταρτοβάθμια μορφή με ένα ομογενές τεταρτοβάθμιο πολυώνυμο στο $h$ και $k$. Ο Σερρέ προτείνει ότι αν το $F(h,k)$ έχει σταθερό πρόσημο για όλα τα σημεία όπου $Q(h,k)=C(h,k)=0$ τότε υπάρχει ένα τοπικό μέγιστο ή ελάχιστο της επιφάνειας στο $(x_0,y_0)$.

Στις σημειώσεις του 1884 στο ιταλικό εγχειρίδιο του Άντζελο Τζενοτσί για τον λογισμό, Υπολογισμός διαφορών και αρχές του ολοκληρωτικού υπολογισμού, ο Πεάνο είχε ήδη παράσχει διάφορες σωστές συνθήκες για να φτάσει μια συνάρτηση σε τοπικό ελάχιστο ή τοπικό μέγιστο. Στη γερμανική μετάφραση του ίδιου εγχειριδίου το 1899, έδωσε αυτή την επιφάνεια ως αντιπαράδειγμα στη συνθήκη του . Στο σημείο $(0,0,0)$ πληρούνται οι συνθήκες του Σερρέ, αλλά το σημείο αυτό είναι σημείο σέλας και όχι τοπικό μέγιστο. Μια συναφής συνθήκη με αυτή του Σερρέ επικρίθηκε επίσης από τον Λούντβιχ Σέφερ, ο οποίος χρησιμοποίησε την επιφάνεια του Πεάνο ως αντιπαράδειγμα σε μια δημοσίευση του 1890, η οποία πιστώνεται στον Πεάνο.

Μοντέλα

Μοντέλα της επιφάνειας του Πεάνο περιλαμβάνονται στη Συλλογή Μαθηματικών Προτύπων και Οργάνων του Πανεπιστημίου του Γκέτινγκεν και στη συλλογή μαθηματικών μοντέλων του TU Δρέσδης (σε δύο διαφορετικά πρότυπα). Το μοντέλο του Γκέτινγκεν ήταν το πρώτο νέο πρότυπο που προστέθηκε στη συλλογή μετά τον Πρώτο Παγκόσμιο Πόλεμο και ένα από τα τελευταία που προστέθηκαν στη συλλογή συνολικά.

Δημοσιεύσεις

• Peano on definition of surface area
• A Model for the Peano Surface Jstor

Δείτε επίσης

• Peano Surface

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Surface Area. (AM-35), Volume 35
• Geometric Modeling of Fractal Forms for CAD
• Peano: Life and Works of Giuseppe Peano