Εφαπτομενική γωνία

Η εφαπτομενική γωνία Πρότυπο:Mvar για μια αυθαίρετη καμπύλη Πρότυπο:Mvar στο Πρότυπο:Mvar.

Στη γεωμετρία, η εφαπτομενική γωνία μιας καμπύλης στο καρτεσιανό επίπεδο, σε ένα συγκεκριμένο σημείο, είναι η γωνία μεταξύ της εφαπτομένης της καμπύλης στο συγκεκριμένο σημείο και του άξονα x. (Ορισμένοι συγγραφείς ορίζουν τη γωνία ως την απόκλιση από τη κατεύθυνση της καμπύλης σε κάποιο σταθερό σημείο εκκίνησης. Αυτό είναι ισοδύναμο με τον ορισμό που δίνεται εδώ με την προσθήκη μιας σταθεράς στη γωνία ή με την περιστροφή της καμπύλης).

Εξισώσεις

Αν μια καμπύλη δίνεται παραμετρικά από την Πρότυπο:Math, τότε η εφαπτομενική γωνία Πρότυπο:Mvar στο Πρότυπο:Mvar ορίζεται (μέχρι ένα πολλαπλάσιο του Πρότυπο:Math) από τη σχέση

$\frac{(x^{\prime }(t),y^{\prime }(t))}{|x^{\prime }(t),y^{\prime }(t)|}=(\cos \phi ,\sin \phi ).$

Εδώ, το πρώτο σύμβολο υποδηλώνει την παράγωγο ως προς Πρότυπο:Mvar. Έτσι, η εφαπτομενική γωνία προσδιορίζει την κατεύθυνση του διανύσματος της ταχύτητας Πρότυπο:Math, ενώ η ταχύτητα προσδιορίζει το μέγεθός της. Το διάνυσμα

$\frac{(x^{\prime }(t),y^{\prime }(t))}{|x^{\prime }(t),y^{\prime }(t)|}$

ονομάζεται μοναδιαίο εφαπτομενικό διάνυσμα, οπότε ένας ισοδύναμος ορισμός είναι ότι η εφαπτομενική γωνία στο Πρότυπο:Mvar είναι η γωνία Πρότυπο:Mvar τέτοια ώστε Πρότυπο:Math είναι το μοναδιαίο εφαπτομενικό διάνυσμα στο Πρότυπο:Mvar.

Αν η καμπύλη παραμετροποιείται από το μήκος τόξου Πρότυπο:Mvar, τότε Πρότυπο:Math, τότε ο ορισμός απλοποιείται ως εξής

$(x^{\prime }(s),y^{\prime }(s))=(\cos \phi ,\sin \phi ).$

Σε αυτή την περίπτωση, η καμπυλότητα Πρότυπο:Mvar δίνεται από τη σχέση Πρότυπο:Math, όπου Πρότυπο:Mvar λαμβάνεται θετική αν η καμπύλη κάμπτεται προς τα αριστερά και αρνητική αν η καμπύλη κάμπτεται προς τα δεξιά. Αντίστροφα, η εφαπτομενική γωνία σε ένα δεδομένο σημείο ισούται με το ορισμένο ολοκλήρωμα της καμπυλότητας μέχρι το σημείο αυτό:

$\phi (s)=\underset{0}{\overset{s}{\int }}\kappa (s)ds+{\phi }_0$

$\phi (t)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}\kappa (t)s^{\prime }(t)dt+{\phi }_0$

Αν η καμπύλη δίνεται από τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης Πρότυπο:Math, τότε μπορούμε να πάρουμε Πρότυπο:Math ως παραμετροποίηση, και μπορούμε να υποθέσουμε ότι Πρότυπο:Mvar είναι μεταξύ Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math. Έτσι προκύπτει η ρητή έκφραση

$\phi =\arctan f^{\prime }(x).$

Πολική εφαπτομενική γωνία

Στις πολικές συντεταγμένες, η πολική εφαπτομενική γωνία ορίζεται ως η γωνία μεταξύ της εφαπτομένης της καμπύλης στο συγκεκριμένο σημείο και της ακτίνας από την αρχή προς το σημείο. Αν Πρότυπο:Mvar συμβολίζει την πολική εφαπτομενική γωνία, τότε Πρότυπο:Math}, όπου Πρότυπο:Mvar είναι όπως παραπάνω και Πρότυπο:Mvar είναι, ως συνήθως, η πολική γωνία.

Αν η καμπύλη ορίζεται σε πολικές συντεταγμένες από Πρότυπο:Math, τότε η πολική εφαπτομενική γωνία Πρότυπο:Mvar στο Πρότυπο:Mvar ορίζεται (μέχρι ένα πολλαπλάσιο του Πρότυπο:Math) ως εξής

$\frac{(f^{\prime }(\theta ),f(\theta ))}{|f^{\prime }(\theta ),f(\theta )|}=(\cos \psi ,\sin \psi )$.

Εάν η καμπύλη παραμετροποιείται από το μήκος τόξου Πρότυπο:Mvar ως Πρότυπο:Math, Πρότυπο:Math, οπότε Πρότυπο:Math, τότε ο ορισμός γίνεται

$(r^{\prime }(s),r{\theta }^{\prime }(s))=(\cos \psi ,\sin \psi )$.

Η λογαριθμική σπείρα μπορεί να οριστεί ως μια καμπύλη της οποίας η πολική εφαπτομενική γωνία είναι σταθερή.

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Πολικό σύστημα συντεταγμένων
• Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
• Μη ευκλείδειες γεωμετρίες
• Ορίζουσα
• Μήκος τόξου

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Matrix Analysis
• Mathematics for Physical Chemistry
• Applied Linear Algebra
• Discrete Subgroups of Semisimple Lie Groups, Τόμος 17
• Advanced Mathematical And Computational Tools In Metrology And Testing Ix
• Linear Algebra and Geometry
• Blackie's Dictionary of Mathematics
• Geometrical Analysis, and Geometry of Curve Lines: Being Volume Second of a Curve Lines

Δημοσιεύσεις

• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite web
• Πρότυπο:Cite book
• Famous Curves Index, School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland
• Mathematical curves A collection of 874 two-dimensional mathematical curves