Ημιεπίπεδο

Με πράσινο και μπλε τα δύο ημιεπίπεδα που ορίζονται από την ευθεία $\epsilon$.

Στην γεωμετρία, κάθε ευθεία χωρίζει τα σημεία του επιπέδου σε δύο μέρη τα οποία δεν έχουν κοινά σημεία με την ευθεία. Κάθε ένα από αυτά τα δύο μέρη λέγεται ημιεπίπεδο.Πρότυπο:RpΠρότυπο:Rp

Η ευθεία $\epsilon$ λέγεται αρχική ευθεία των ημιεπιπέδων. Το ημιεπίπεδο που περιέχει το σημείο $\mathrm{A}$ συμβολίζεται με $(\epsilon ,\mathrm{A}\mathrm{)}$.

Αναλυτική γεωμετρία

Στην αναλυτική γεωμετρία, η ευθεία ορίζεται ως το σύνολο των σημείων $(x,y)$ που ικανοποιούν την εξίσωση

$Ax+By+\mathrm{\Gamma }=0$,

για κάποιους πραγματικούς αριθμούς $A,B,\mathrm{\Gamma }$, όπου $A,B$ δεν είναι και οι δύο μηδέν.

Τα δύο ημιεπίπεδα που ορίζει η ευθεία είναι τα σύνολα των σημείων που ικανοποιούν τις ανισότητες

$Ax+By+\mathrm{\Gamma }>0$,

ή αντίστοιχα

$Ax+By+\mathrm{\Gamma }<0$.

Ιδιότητες

Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων $\mathrm{M}$ με $\mathrm{M}\mathrm{A}<\mathrm{M}\mathrm{B}$, είναι το ημιεπίπεδο $(\mu ,\mathrm{A}\mathrm{)}$ όπου $\mu$ η μεσοκάθετος του $\mathrm{A}\mathrm{B}$.

• Είναι ημιεπίπεδο είναι ένα κυρτό σύνολο.
• Τα δύο ημιεπίπεδα και η ευθεία που τα ορίζει, συνιστούν έναν διαμερισμό όλων των σημείων του επιπέδου.

Εφαρμογές

• Για δύο σημεία $\mathrm{A}$ και $\mathrm{B}$ ο γεωμετρικός τόπος των σημείων $\mathrm{M}$ με $\mathrm{M}\mathrm{A}<\mathrm{M}\mathrm{B}$ είναι το ημιεπίπεδο που ορίζεται από την μεσοκάθετο του $\mathrm{A}\mathrm{B}$ και περιέχει το $\mathrm{A}$.
• Στον γραμμικό προγραμματισμό, που χρησιμοποιείται για την επίλυση πολλών προβλήματων βελτιστοποίησης, οι περιορισμοί ορίζουν ημιεπίπεδα στον χώρο.

Δείτε επίσης

• Ευθεία
• Ημιευθεία
• Ημιχώρος