Θεώρημα Μέμπιους-Pompeiu

Παράδειγμα τριγώνου που δημιουργείται από τις αποστάσεις $\mathrm{P}\mathrm{A},\mathrm{P}\mathrm{B},\mathrm{P}\mathrm{\Gamma }$ ως συνέπεια του θεώρηματος Μέμπιους-Pompeiu.

Η εκφυλισμένη περίπτωση του θεωρήματος Μέμπιους-Pompeiu, όταν το $\mathrm{P}$ είναι σημείο του περιγεγραμμένου τριγώνου του $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$.

Στην γεωμετρία, το θεώρημα Μέμπιους-Pompeiu (γνωστό και ως θεώρημα Pompeiu) λέει ότι οι αποστάσεις ενός σημείου από τις κορυφές ενός ισοπλεύρου τριγώνου δημιουργούν ένα (πιθανώς εκφυλισμένο) τρίγωνο.

Πιο συγκεκριμένα, αν $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ είναι ένα ισόπλευρο τρίγωνο και $\mathrm{P}$ ένα σημείο του επιπέδου, τότε υπάρχει τρίγωνο με μήκη πλευρών ίσα με $\mathrm{P}\mathrm{A},\mathrm{P}\mathrm{B},\mathrm{P}\mathrm{\Gamma }$.

Όταν το $\mathrm{P}$ είναι σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου του $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$, τότε από το θεώρημα van Schooten ισχύει ότι $\mathrm{P}\mathrm{A}=\mathrm{P}\mathrm{B}+\mathrm{P}\mathrm{\Gamma }$ (αν $\mathrm{P}\mathrm{A}\mathrm{=}\max \mathrm{(}\mathrm{P}\mathrm{B},\mathrm{P}\mathrm{\Gamma }\mathrm{)}$) και το τρίγωνο θα είναι εκφυλισμένο.

Το θεώρημα παίρνει το όνομά του από τον Dimitrie Pompeiu και τον Άουγκουστ Φέρντιναντ Μέμπιους.

Ιστορία

Ο Pompeiu δημοσίευσε το θεώρημα το 1936, αλλά ο Άουγκουστ Φέρντιναντ Μέμπιους είχε ήδη δημοσιεύσει από το 1852 ένα πιο γενικό θεώρημα για τέσσερα σημεία στο επίπεδο. Σε αυτή τη δημοσίευση ο Μέμπιους ανέφερε το θεώρημα για τα ισόπλευρα τρίγωνα ως πόρισμα του γενικού θεωρήματος.Πρότυπο:R

Δείτε επίσης

• Θεώρημα van Schooten
• Ισόπλευρο τρίγωνο

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Θεώρημα Pompeiu στο MathWorld
• Θεώρημα Pompeiu στο cut-the-knot
• Θεώρημα Pompeiu στο Geogebra