Θεώρημα Πιτό

Στο περιγεγραμμένο τετράπλευρο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }$, ισχύει ότι $\mathrm{A}\mathrm{B}+\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }=\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }+\mathrm{A}\mathrm{\Delta }$.

Στην γεωμετρία, το θεώρημα Πιτό (αναφέρεται και ως θεώρημα Pitot) λέει ότι σε ένα περιγεγραμμένο τετράπλευρο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }$ το άθροισμα των μηκών των απέναντι πλευρών είναι ίσο, δηλαδή $\mathrm{A}\mathrm{B}+\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }=\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }+\mathrm{A}\mathrm{\Delta }$.

Το θεώρημα παίρνει το όνομά του από τον Ανρί Πιτό που το δημοσίευσε το 1725. Το αντίστροφο του θεωρήματος αποδείχθηκε από τον J. B. Durrande το 1815 και από τον J. Steiner το 1846.

Αντίστροφο

Αν σε ένα τετράπλευρο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }$ ισχύει ότι $\mathrm{A}\mathrm{B}+\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }=\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }+\mathrm{A}\mathrm{\Delta }$, τότε το τετράπλευρο είναι περιγεγραμμένο.

Γενικεύσεις

Σε παρεγεγραμμένα τετράπλευρα

Ισχύει ότι $\mathrm{A}\mathrm{B}+\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }=\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }+\mathrm{A}\mathrm{\Delta }$.

Σε ένα παρεγεγραμμένο τετράπλευρο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }$ όπως στο πλαϊνό σχήμα, ισχύει ότι

$\mathrm{A}\mathrm{B}+\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }=\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }+\mathrm{A}\mathrm{\Delta }$.

Σε περιγεγραμμένα πολύγωνα

Το θεώρημα Πιτό για πολύγωνα λέει ότι το άθροισμα των μηκών των πράσινων πλευρών είναι ίσο με αυτό των μπλε.

Σε ένα περιγεγραμμένο πολύγωνο με $2n$ πλευρές, ισχύει ότι το άθροισμα των περιττών πλευρών είναι ίσο με το άθροισμα των άρτιων πλευρών. Πιο συγκεκριμένα, στο πολύγωνο ${\mathrm{P}}_1,{\mathrm{P}}_2,\dots ,{\mathrm{P}}_{2n}$ ισχύει ότι

${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2+{\mathrm{P}}_3{\mathrm{P}}_4+\dots +{\mathrm{P}}_{2n-1}{\mathrm{P}}_{2n}={\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_3+{\mathrm{P}}_4{\mathrm{P}}_5+\dots +{\mathrm{P}}_{2n}{\mathrm{P}}_1=\tau$,

όπου $\tau$ η ημιπερίμετρος του πολυγώνου.

Στερεομετρία

Το θεώρημα Πιτό γενικεύεται και για τετράεδρα.Πρότυπο:R

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Διαδραστική εφαρμογή για περιγεγραμμένα και παρεγεγραμμένα τετράπλευρα στο Geogebra
• Διαδραστική εφαρμογή στο Geogebra
• Το θεώρημα Πιτό στο cut-the-knot.

Δείτε επίσης

• Περιγεγραμμένο τετράπλευρο