Θεώρημα του Έρενφεστ

Πρότυπο:Κβαντική μηχανική Το Θεώρημα του Έρενφεστ (Ehrenfest) είναι θεώρημα της κβαντικής μηχανικής και ονομάστηκε έτσι, επειδή διατυπώθηκε από τον φυσικό και μαθηματικό Πάουλ Έρενφεστ.
Χρησιμοποιώντας το θεώρημα αυτό, βρίσκουμε κάποιες σχέσεις οι οποίες μας θυμίζουν την κλασική μηχανική. Δηλαδή οι κβαντικές μέσες τιμές εξελίσσονται κλασικά.

Διατύπωση θεωρήματος Έρενφεστ

Έστω ένα φυσικό σύστημα που έχει Χαμιλτονιανή Ĥ και έστω ένα μέγεθος Â που περιγράφει το σύστημα αυτό. Τότε, ισχύει το θεώρημα Έρενφεστ:

$\frac{\partial ⟨\hat{A}⟩}{\partial t}=\frac{1}{i\hslash }⟨[\hat{A},\hat{H}]⟩+⟨\frac{\partial \hat{A}}{\partial t}⟩$

Το <â> συμβολίζει τη μέση τιμή του μεγέθους â, ενώ το [â,ĉ] συμβολίζει το μεταθέτη των τελεστών â, ĉ και ισούται με [â,ĉ]=âĉ-ĉâ.

Απόδειξη του θεωρήματος Έρενφεστ

Η μέση τιμή ενός μεγέθους Â σε ένα σύστημα με Χαμιλτονιανή Ĥ και κυματοσυνάρτηση Ψ ισούται με:

$⟨\hat{A}⟩=\underset{V_{\mathrm{\infty }}}{\int }{\mathrm{\Psi }}^{*}\hat{A}\mathrm{\Psi }dV$, όπου dV ο στοιχειώδης όγκος.

Έχουμε λοιπόν:

$\frac{\partial ⟨\hat{A}⟩}{\partial t}=\frac{\partial }{\partial t}\underset{V_{\mathrm{\infty }}}{\int }{\mathrm{\Psi }}^{*}\hat{A}\mathrm{\Psi }dV=\underset{V_{\mathrm{\infty }}}{\int }\frac{\partial {\mathrm{\Psi }}^{*}}{\partial t}\hat{A}\mathrm{\Psi }dV+\underset{V_{\mathrm{\infty }}}{\int }{\mathrm{\Psi }}^{*}\frac{\partial \hat{A}}{\partial t}\mathrm{\Psi }dV+\underset{V_{\mathrm{\infty }}}{\int }{\mathrm{\Psi }}^{*}\hat{A}\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial t}dV$

Από την εξίσωση Schrodinger έχουμε ότι:

$i\hslash \frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial t}=\hat{H}\mathrm{\Psi }\iff \frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial t}=\frac{1}{i\hslash }\hat{H}\mathrm{\Psi }$

Επίσης παίρνοντας την συζυγή σχέση έχουμε:

$\frac{\partial {\mathrm{\Psi }}^{*}}{\partial t}=-\frac{1}{i\hslash }{\mathrm{\Psi }}^{*}{\hat{H}}^{*}=-\frac{1}{i\hslash }{\mathrm{\Psi }}^{*}\hat{H}$ (η σχέση αυτή γίνεται πιο προφανής με τον συμβολισμό του Dirac), όπου χρησιμοποιήθηκε η αυτοσυζυγία της Χαμιλτονιανής, δηλαδή το ότι ${\hat{H}}^{*}=\hat{H}$

Επίσης είναι προφανές ότι:

$\underset{V_{\mathrm{\infty }}}{\int }{\mathrm{\Psi }}^{*}\frac{\partial \hat{A}}{\partial t}\mathrm{\Psi }dV=⟨\frac{\partial \hat{A}}{\partial t}⟩$

Αντικαθιστώντας στην αρχική, έχουμε:

$\begin{array}{cc}& \frac{\partial ⟨\hat{A}⟩}{\partial t}=-\frac{1}{i\hslash }\underset{V_{\mathrm{\infty }}}{\int }{\mathrm{\Psi }}^{*}\hat{H}\hat{A}\mathrm{\Psi }dV+⟨\frac{\partial \hat{A}}{\partial t}⟩+\frac{1}{i\hslash }\underset{V_{\mathrm{\infty }}}{\int }{\mathrm{\Psi }}^{*}\hat{A}\hat{H}\mathrm{\Psi }dV=\frac{1}{i\hslash }\underset{V_{\mathrm{\infty }}}{\int }{\mathrm{\Psi }}^{*}(\hat{A}\hat{H}-\hat{H}\hat{A})\mathrm{\Psi }dV+⟨\frac{\partial \hat{A}}{\partial t}⟩=\\ & =\frac{1}{i\hslash }\underset{V_{\mathrm{\infty }}}{\int }{\mathrm{\Psi }}^{*}[\hat{A},\hat{H}]\mathrm{\Psi }dV+⟨\frac{\partial \hat{A}}{\partial t}⟩=\frac{1}{i\hslash }⟨[\hat{A},\hat{H}]⟩+⟨\frac{\partial \hat{A}}{\partial t}⟩\end{array}$

Και καταλήγουμε στην:

$\frac{\partial ⟨\hat{A}⟩}{\partial t}=\frac{1}{i\hslash }⟨[\hat{A},\hat{H}]⟩+⟨\frac{\partial \hat{A}}{\partial t}⟩$

ο.έ.δ.

Εφαρμογές του θεωρήματος

Εφαρμ

$\begin{array}{cc}& \frac{\partial ⟨\hat{x}⟩}{\partial t}=\frac{1}{i\hslash }⟨[\hat{x},\hat{H}]⟩+⟨\frac{\partial \hat{x}}{\partial t}⟩=\frac{1}{i\hslash }⟨[\hat{x},\hat{H}]⟩+0=\frac{1}{i\hslash }⟨[\hat{x},\frac{{\widehat{p_x}}^2}{2m}+V(x)]⟩=\frac{1}{i\hslash }⟨[\hat{x},\frac{{\widehat{p_x}}^2}{2m}]+[\hat{x},V(x)]⟩=\\ & =\frac{1}{i\hslash 2m}⟨{\hat{p}}_x[\hat{x},\widehat{p_x}]+[\hat{x},\widehat{p_x}]{\hat{p}}_x+0⟩=\frac{1}{i\hslash 2m}⟨2i\hslash {\hat{p}}_x⟩\end{array}$

Και τελικά καταλήγουμε στην:

$\frac{\partial ⟨\hat{x}⟩}{\partial t}=\frac{⟨{\hat{p}}_x⟩}{m}$, η οποία μας θυμίζει την κλασσική σχέση για την ταχύτητα.

Εφαρμογή για την ορμή p_x

Η εφαρμογή στην ορμή μας δίνει με παρόμοιους συλλογισμούς την:

$\frac{\partial ⟨{\hat{p}}_x⟩}{\partial t}=-⟨\frac{\partial V(x)}{\partial x}⟩$, η οποία μας θυμίζει τη σχέση του 2ου νόμου του Newton (Νεύτωνος).

Εσωτερικοί Σύνδεσμοι

• Συμβολισμός Ντιράκ
• Τελεστής
• Μεταθέτης τελεστή
• Χαμιλτονιανή μηχανική