Θεώρημα του Ντε Γκουά

Τετράεδρο με γωνία ορθής γωνίας στο O

Στα μαθηματικά, το θεώρημα του Ντε Γκουά είναι ένα τρισδιάστατο ανάλογο του Πυθαγόρειου θεωρήματος που πήρε το όνομά του από τον Ζαν Πολ ντε Γκουά ντε Μαλβς. Δηλώνει ότι αν ένα τετράεδρο έχει μια ορθή γωνία (όπως η γωνία ενός κύβου), το τετράγωνο του εμβαδού της όψης που βρίσκεται απέναντι από την ορθή γωνία είναι το άθροισμα των τετραγώνων των εμβαδών των άλλων τριών όψεων:

$A_{ABC}^2=A_{ABO}^2+A_{ACO}^2+A_{BCO}^2$

Το θεώρημα του Ντε Γκούα μπορεί να εφαρμοστεί για την απόδειξη μιας ειδικής περίπτωσης του τύπου του Ήρωνα.

Γενικεύσεις

Το Πυθαγόρειο θεώρημα και το θεώρημα του Ντε Γκούα είναι ειδικές περιπτώσεις (Πρότυπο:Math) ενός γενικού θεωρήματος για n-μονοπλέγματα με ορθή γωνία, που αποδείχθηκε από τους Π. Σ. Ντοντσιάν και Χ. Σ. Μ. Κόξετερ το 1935. Αυτό, με τη σειρά του, είναι ειδική περίπτωση ενός ακόμα πιο γενικού θεωρήματος των Ντόναλντ Ρ. Κόναντ και Γουίλιαμ Α. Μπάιερ (1974) , το οποίο μπορεί να διατυπωθεί ως εξής.

Έστω U ένα μετρήσιμο υποσύνολο ενός k-διάστατου αφινικού υποχώρου του ${ℝ}^n$ (οπότε $k\le n$). Για κάθε υποσύνολο $I\subseteq \{1,\dots ,n\}$ με ακριβώς k στοιχεία, έστω $U_I$ η ορθογώνια προβολή του U στο γραμμικό εύρος του $e_{i_1},\dots ,e_{i_k}$, όπου $I=\{i_1,\dots ,i_k\}$ και $e_1,\dots ,e_n$ είναι η τυπική βάση για το ${ℝ}^n$. Τότε

${\mathrm{vol}}_k^2(U)=\sum _I{\mathrm{vol}}_k^2(U_I),$

όπου ${\mathrm{vol}}_k(U)$ είναι ο k-διάστατος όγκος του U και το άθροισμα είναι πάνω σε όλα τα υποσύνολα $I\subseteq \{1,\dots ,n\}$ με ακριβώς k στοιχεία.

Το θεώρημα του Ντε Γκούα και η γενίκευσή του (παραπάνω) για n-συμβολικά με γωνίες ορθής γωνίας αντιστοιχούν στην ειδική περίπτωση όπου k = n−1 και U είναι ένα (n-1)-συμβολικό στο ${ℝ}^n$ με κορυφές στους άξονες συντεταγμένων. Παραδείγματος χάριν, έστω ότι Πρότυπο:Math, Πρότυπο:Math και U είναι το τρίγωνο $\mathrm{△}ABC$ in ${ℝ}^3$ με κορυφές A, B και C που βρίσκονται στους άξονες $x_1$-, $x_2$- και $x_3$- αντίστοιχα. Τα υποσύνολα $I$ του $\{1,2,3\}$ με ακριβώς 2 στοιχεία είναι τα $\{2,3\}$, $\{1,3\}$ και $\{1,2\}$. Εξ ορισμού, $U_{\{2,3\}}$ είναι η ορθογώνια προβολή του $U=\mathrm{△}ABC$ στο $x_2{x}_3$-επίπεδο, οπότε $U_{\{2,3\}}$ είναι το τρίγωνο $\mathrm{△}OBC$ με κορυφές O, B και C, όπου O είναι η αρχή του ${ℝ}^3$. Ομοίως, $U_{\{1,3\}}=\mathrm{△}AOC$ και $U_{\{1,2\}}=\mathrm{△}ABO$, οπότε το θεώρημα Κονάντ-Μπέγιερ δηλώνει

${\mathrm{vol}}_2^2(\mathrm{△}ABC)={\mathrm{vol}}_2^2(\mathrm{△}OBC)+{\mathrm{vol}}_2^2(\mathrm{△}AOC)+{\mathrm{vol}}_2^2(\mathrm{△}ABO),$

το οποίο είναι το θεώρημα του Ντε Γκούα.

Η γενίκευση του θεωρήματος του Ντε Γκουά σε n-μονοπλέγματα με γωνιές ορθής γωνίας μπορεί επίσης να προκύψει ως ειδική περίπτωση από τον τύπο του καθοριστικού παράγοντα Κέιλι-Μένγκερ.

Το θεώρημα του Ντε Γκουά μπορεί επίσης να γενικευτεί σε αυθαίρετα τετράεδρα και σε πυραμίδες .

Ιστορία

Ο Ζαν Πολ ντε Γκουα ντε Μαλβ (1713-1785) δημοσίευσε το θεώρημα το 1783, αλλά περίπου την ίδια εποχή δημοσιεύτηκε και μια ελαφρώς πιο γενική εκδοχή του από έναν άλλο Γάλλο μαθηματικό, τον Σαρλ ντε Τινσό ντ' Αμοντάνς (1746-1818). Ωστόσο, το θεώρημα ήταν επίσης γνωστό πολύ νωρίτερα στον Γιόχαν Φολχάμπερ (1580-1635) και στον Ρενέ Ντεκάρτ (1596-1650).

Δημοσιεύσεις

• Πρότυπο:Cite journal
• Wilhelm Killing: Lehrbuch Der Analytischen Geometrie. Teil 2, Outlook Verlagsgesellschaft, Bremen 2011, ISBN 978-3-86403-540-1.
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite book

• Πρότυπο:Cite book
• Allen, R. E. (1965). Studies in Plato's Metaphysics II. Taylor & Francis. ISBN 0-7100-3626-4
• Ambuel, David (2007). Image and Paradigm in Plato's Sophist. Parmenides Publishing. ISBN 978-1-930972-04-9
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book On-line text at archive.org
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book This high-school geometry text covers many of the topics in this WP article.

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Βικιπαίδεια:Εγχειρίδιο μορφής/Μαθηματικά (Περιέχει και τα αγγλοελληνικά Λεξικά Μαθηματικής Ορολογίας)
• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Στοιχεία του Ευκλείδη
• Ευκλείδειος χώρος
• Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
• Ομογενές πολυώνυμο
• Παραμετρικές εξισώσεις
• Παραβολή (γεωμετρία)
• Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
• Πυθαγόρειο θεώρημα
• Πυραμίδα (γεωμετρία)
• Διαβήτης (όργανο)
• 2-διάνυσμα
• Ελλειψογράφος του Αρχιμήδη
• Ήρων ο Αλεξανδρεύς
• Τύπος του Ήρωνα
• Τετράεδρο
• Κύβος
• High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Euclid’s elements of geometry - The Greek text of J.L. Heiberg (1883–1885) Πανεπιστήμιο του Τέξας στο Όστιν
• Τα οπτικά του Ευκλείδη Διδακτορική Διατριβή - ΕΑΔΔ
• A History of Greek Mathematics, Τόμος 1
• A History of Greek Mathematics: Τόμος 2
• Advanced Euclidean Geometry
• Methods for Euclidean Geometry.
• Exploring Advanced Euclidean Geometry with GeoGebra.
• Mechanical and Aerospace Engineering, ICMAE2011
• Geometry by Its History
• A System of Plane and Spherical Trigonometry: To which is Added a Treatise...
• Mathematical Methods for Engineering Applications: ICMASE 2022, Bucharest - De Gua's generalization.....
• History of Mathematics: A Supplement -De Gua's theorem, page 214..
• Unipotent and Nilpotent Classes in Simple Algebraic Groups and Lie Algebras..

Παραπομπές

• Sergio A. Alvarez: Note on an n-dimensional Pythagorean theorem, Carnegie Mellon University.
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:MathWorld

Πρότυπο:Authority control Πρότυπο:Portal bar