Θεώρημα του Οστρόβσκι

Στη θεωρία αριθμών, το θεώρημα του Οστρόβσκι, από τον Αλεξάντερ Οστρόβσκι (1916), δηλώνει ότι κάθε μη τετριμμένη απόλυτη τιμή στους λογικούς αριθμούς Q ισοδυναμεί είτε με τη συνήθη πραγματική απόλυτη τιμή είτε με μια Πρότυπο:Mvar-adic απόλυτη τιμή.

Ορισμοί

Υψώνοντας μια απόλυτη τιμή σε δύναμη μικρότερη του 1 οδηγεί πάντα σε μια άλλη απόλυτη τιμή. Δύο απόλυτες τιμές $|\cdot |$ και $|\cdot {|}_{\ast }$σε ένα πεδίο K ορίζονται ότι είναι ισοδύναμες, εάν υπάρχει ένας πραγματικός αριθμός Πρότυπο:Math έτσι ώστε:

$|x{|}_{\ast }=|x{|}^c\text{ για όλα τα }x\in 𝐊.$

Η τετραγωνική απόλυτη τιμή σε οποιοδήποτε πεδίο K ορίζεται ως:

$|x{|}_0:=\{\begin{array}{cc}0,& \text{εάν }x=0,\\ 1,& \text{εάν }x\ne 0.\end{array}$

Η πραγματική απόλυτη τιμή για τους ρητούς Q είναι η σταθερή απόλυτη τιμή για τους πραγματικούς, που ορίζεται ως:

$|x{|}_{\mathrm{\infty }}:=\{\begin{array}{cc}x,& \text{εάν }x\ge 0\\ -x,& \text{εάν }x<0.\end{array}$

Αυτό είναι μερικές φορές γραμμένο με έναν δείκτη 1 αντί για το άπειρο.

Για έναν πρώτο αριθμό Πρότυπο:Mvar , η Πρότυπο:Mvar-αδική απόλυτη τιμή για το Q ορίζεται ως εξής: κάθε μη μηδενική λογική Πρότυπο:Mvar , μπορεί να γραφτεί μοναδικά ως $x={\pi }^{\nu }\frac{\alpha }{\beta }$, όπου Πρότυπο:Mvar και Πρότυπο:Mvar είναι ακέραιοι αριθμοί που δεν διαιρούνται από το Πρότυπο:Mvar και το Πρότυπο:Mvar είναι ακέραιος αριθμός. έτσι ορίζουμε:

$|x{|}_{\pi }:=\{\begin{array}{cc}0,& \text{εάν }x=0,\\ {\pi }^{-\nu },& \text{εάν }x\ne 0.\end{array}$

Απόδειξη

Εξετάστε μια μη τετριμμένη απόλυτη αξία στους ρητούς $(𝐐,|\cdot {|}_{\ast })$. Θεωρούμε δύο περιπτώσεις,

(α) $\mathrm{\exists }n\in 𝐍,|n{|}_{\ast }>1$

(β) $\mathrm{\forall }n\in 𝐍,|n{|}_{\ast }\le 1$

Αρκεί για εμάς να εξετάσουμε την αποτίμηση των ακέραιων αριθμών μεγαλύτερων από ένα. Γιατί αν βρούμε Πρότυπο:Mvar στο Πρότυπο:Math για τον οποίον $|n{|}_{\ast }=|n{|}_{\ast \ast }^c$ για όλους τους φυσικούς μεγαλύτερους από ένα, τότε αυτή η σχέση είναι ασήμαντη για 0 και 1, και για θετικούς ρητούς

${\left|\frac{m}{n}\right|}_{\ast }=\frac{|m{|}_{\ast }}{|n{|}_{\ast }}=\frac{|m{|}_{\ast \ast }^c}{|n{|}_{\ast \ast }^c}={\left(\frac{|m{|}_{\ast \ast }}{|n{|}_{\ast \ast }}\right)}^c={\left|\frac{m}{n}\right|}_{\ast \ast }^c,$

Επίσης το ίδιο ισχύει για αρνητικούς ρητούς

$|-x{|}_{\ast }=|x{|}_{\ast }=|x{|}_{\ast \ast }^c=|-x{|}_{\ast \ast }^c.$

Περίπτωση Ι: ∃ n ∈ N     | n | _* > 1

Εξετάστε τον ακόλουθο υπολογισμό. Έστω Πρότυπο:Mvar και Πρότυπο:Mvar φυσικοί αριθμοί με Πρότυπο:Math . Εκφράζοντας Πρότυπο:Mvar σε βάση Πρότυπο:Mvar αποδίδει

$b^n=\sum _{i<m}{c}_i{a}^i,c_i\in \{0,1,\dots ,a-1\},m\le n\frac{\log b}{\log a}+1.$

Στη συνέχεια βλέπουμε από τις ιδιότητες μιας απόλυτης αξίας ότι:

$\begin{array}{cc}|b{|}_{\ast }^n& =|b^n{|}_{\ast }\\ & \le am\max \{|a{|}_{\ast }^{m-1},1\}\\ & \le a(n{\log }_{a}b+1)\max \{|a{|}_{\ast }^{n{\log }_{a}b},1\}\end{array}$

Επομένως,

$|b{|}_{\ast }\le {(a(n{\log }_{a}b+1))}^{1/n}\max \{|a{|}_{\ast }^{{\log }_{a}b},1\}$

Ωστόσο, έχουμε:

$(a(n{\log }_{a}b+1){)}^{1/n}\to 1,\text{as}n\to \mathrm{\infty }$

το οποίο υποδηλώνει:

$|b{|}_{\ast }\le \max \{|a{|}_{\ast }^{{\log }_{a}b},1\}.$

Τώρα επιλέξτε Πρότυπο:Math έτσι ώστε Πρότυπο:Math. Χρησιμοποιώντας αυτό στα παραπάνω εξασφαλίζει ότι υπάρχει Πρότυπο:Math ανεξάρτητα από την επιλογή του Πρότυπο:Mvar (αλλιώς $|a{|}_{\ast }^{{\log }_{a}b}\le 1$ implying $|b{|}_{\ast }\le 1$). Έτσι για οποιαδήποτε επιλογή του Πρότυπο:Math παραπάνω, παίρνουμε:

$|b{|}_{\ast }\le |a{|}_{\ast }^{\log b/\log a},$

δηλαδή

$\frac{\log |b{|}_{\ast }}{\log b}\le \frac{\log |a{|}_{\ast }}{\log a}.$

Με συμμετρία, αυτή η ανισότητα είναι ισότητα.

Δεδομένου ότι το Πρότυπο:Mvar ήταν αυθαίρετο, υπάρχει η σταθερά $\lambda \in {𝐑}^{+}$, για την οποία $\log |n{|}_{\ast }=\lambda \log n$, δηλαδή $|n{|}_{\ast }=n^{\lambda }=|n{|}_{\mathrm{\infty }}^{\lambda }$ για όλα τους φυσικούς Πρότυπο:Math. Σύμφωνα με τις παραπάνω παρατηρήσεις, βλέπουμε εύκολα ότι για όλους τους ρητούς ισχύει $|x{|}_{\ast }=|x{|}_{\mathrm{\infty }}^{\lambda }$, αποδεικνύοντας έτσι την ισοδυναμία με την πραγματική απόλυτη τιμή.

Περίπτωση ΙΙ: ∀ n ∈ N     | n | _* ≤ 1

Δεδομένου ότι αυτή η εκτίμηση είναι μη τετριμμένη, πρέπει να υπάρχει ένας φυσικός αριθμός για τον οποίο Πρότυπο:Math. Παραγοντοποιώντας αυτόν τον φυσικό,

$n=\prod _{i<r}{p}_i^{e_i}$

αποδίδει Πρότυπο:Math πρέπει να είναι μικρότερη από 1, για τουλάχιστον έναν από τους πρώτους αριθμούς Πρότυπο:Math . Υποστηρίζουμε ότι, στην πραγματικότητα, αυτό ισχύει μόνο για ένα.

Υποθέστε ανά αντίθεση ότι Πρότυπο:Math είναι ξεχωριστά αρχικά με απόλυτη τιμή μικρότερη από 1. Πρώτα, αφήνουμε το $e\in {𝐍}^{+}$ έτσι ώστε να είναι $|p{|}_{\ast }^e,|q{|}_{\ast }^e<\frac{1}{2}$. Με τον ευκλείδειο αλγόριθμο, υπάρχουν Πρότυπο:Math έτσι ώστε να έχουμε $m{p}^e+n{q}^e=1$. Αυτό αποδίδει

$1=|1{|}_{\ast }\le |m{|}_{\ast }|p{|}_{\ast }^e+|n{|}_{\ast }|q{|}_{\ast }^e<\frac{|m{|}_{\ast }+|n{|}_{\ast }}{2}\le 1,$

μια αντίφαση.

Πρέπει λοιπόν να έχουμε Πρότυπο:Math για μερικά Πρότυπο:Mvar , και Πρότυπο:Math για Πρότυπο:Math . Έχοντας

$c=-\frac{\log \alpha }{\log p},$

βλέπουμε ότι για γενικούς θετικούς φυσικούς, υπάρχει

$|n{|}_{\ast }={\left|\prod _{i<r}{p}_i^{e_i}\right|}_{\ast }=\prod _{i<r}{\left|p_i\right|}_{\ast }^{e_i}={\left|p_j\right|}_{\ast }^{e_j}=(p^{-e_j}{)}^c=|n{|}_p^c.$

Σύμφωνα με τις παραπάνω παρατηρήσεις βλέπουμε πως $|x{|}_{\ast }=|x{|}_p^c$ όλοι οι ρητοί, υποδηλώνοντας την απόλυτη τιμή του, είναι ισοδύναμοι με τον Πρότυπο:Mvar αδικό ρητό.      $◼$

Μπορούμε επίσης να δείξουμε ένα ισχυρότερο συμπέρασμα, δηλαδή το $|\cdot {|}_{\ast }:𝐐\to 𝐑$ που είναι μια μη τετριμμένη απόλυτη τιμή αν και μόνο εάν και οι δύο $|\cdot {|}_{\ast }=|\cdot {|}_{\mathrm{\infty }}^c$ υπάρχουν για μερικά $c\in (0,1]$ ή $|\cdot {|}_{\ast }=|\cdot {|}_p^c$ για μερικά $c\in (0,\mathrm{\infty }),p\in 𝐏$.

Ένα άλλο θεώρημα του Οστρόβσκι

Ένα άλλο θεώρημα δηλώνει ότι κάθε πεδίο, πλήρης σε σχέση με μια απόλυτη αξία του Αρχιμήδη, είναι (αλγεβρικά και τοπολογικά) ισομορφικό είτε στους πραγματικούς αριθμούς είτε στους σύνθετους αριθμούς. Αυτό μερικές φορές αναφέρεται επίσης ως Θεώρημα Οστρόβσκι.

Δείτε επίσης

• Θεώρημα χάσματος Οστρόβσκι-Χάνταμαρντ
• Αριθμητικό σύστημα Οστρόβσκι
• Βραβείο Οστρόβσκι

Βιβλιογραφία

• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book