Ιδεώδες (μαθηματικά)

Πρότυπο:Πηγές Στη θεωρία δακτυλίων, ιδεώδες είναι ένα ειδικό υποσύνολο του δακτυλίου.

Ορισμός

Έστω $(ℛ,+,\cdot$) δακτύλιος και $I$ ένα μη κενό υποσύνολο αυτού. Το $I$ θα ονομάζεται δίπλευρο ιδεώδες (ή απλώς ιδεώδες, αγγλικά: Ιdeal) του R και θα συμβολίζoυμε ως $I◃ℛ$ αν ισχύουν τα εξής:

• $a-b\in I$ για κάθε $a,b\in I$, δηλαδή το $I$ αποτελεί ομάδα ως προς την πρόσθεση του δακτυλίου

• $r\cdot a\in I$ και $a\cdot r\in I$, για κάθε $r\in ℛ,a\in I$
• Υπάρχει $a\ne 0$ στο $I$
• Υπάρχει $d\ne 0$ στο $ℛ$ τέτοιο ώστε να ισχύει $dI\subset ℛ$

Από την τρίτη ιδιότητα, προκύπτει ότι κάθε ιδεώδες $I$ του δακτυλίου είναι διάφορο του συνόλου $ℛ$. Στη γενική θεωρία των ιδεώδων και το σύνολο $ℛ$ αποτελεί ιδεώδες.

Μεγιστικό ιδεώδες

Έστω $(ℛ,+,\cdot$) δακτύλιος και $M\ne ℛ$ ένα ιδεώδες του. Το Μ καλείται μεγιστικό ιδεώδες (αγγλικά: maximal ideal) αν για κάθε $I◃R$ με $M\subset I\subset ℛ$ έπεται ότι $I=M$ ή $I=ℛ$.

Πρώτο Ιδεώδες

Έστω $(ℛ,+,\cdot$) δακτύλιος και $𝒫\ne ℛ$ ένα ιδεώδες του. Το $𝒫$ θα καλείται πρώτο ιδεώδες (αγγλικά: prime ideal) αν ικανοποιεί την εξής ιδιότητα:

• Αν $ab\in 𝒫$ τότε είτε $a\in 𝒫$ είτε $b\in 𝒫$.

Προκύπτει ότι κάθε μεγιστικό ιδεώδες του $ℛ$ είναι πρώτο.

Παραδείγματα

• Έστω R δακτύλιος. Τότε δύο ιδεώδη αυτού είναι ο εαυτός του καθώς επίσης και το μονοσύνολο $\{0_R\}$

• Έστω $F:R\to S$ ένας ομομορφισμός δακτυλίων. Τότε ο πυρήνας αυτού είναι ένα ιδεώδες.

• Το σύνολο $\{ra;r\in R\}$ είναι ένα ιδεώδες του $R$ που περιέχει το $a$.Το ιδεώδες αυτό καλείται κύριο και συμβολίζεται με $<a>$.

• Έστω p ένας πρώτος αριθμός. Τότε το ιδεώδες $<p>$ του $\mathbb{Z}$ είναι πρώτο και μέγιστο.

Βιβλιογραφία

• Λάκκης, Κωνσταντίνος (1991), Θεωρία Αριθμών, Ζήτη

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Πρότυπο:Commonscat2

Πρότυπο:Portal bar Πρότυπο:Authority control