Κατανομή Μαρτσένκο-Παστούρ

Διάγραμμα της κατανομής Μαρτσένκο-Παστούρ για διάφορες τιμές του λάμδα

Στη μαθηματική θεωρία των τυχαίων πινάκων, η κατανομή Μαρτσένκο-Παστούρ ή ο νόμος Μαρτσένκο-Παστούρ περιγράφει την ασυμπτωτική συμπεριφορά των μοναδιαίων τιμών μεγάλων ορθογώνιων τυχαίων πινάκων. Το θεώρημα πήρε το όνομά του από τους σοβιετικούς μαθηματικούς Βολοντίμιρ Μαρτσένκο και Λεονίντ Παστούρ, οι οποίοι απέδειξαν αυτό το αποτέλεσμα το 1967.

Αν $X$ συμβολίζει έναν τυχαίο πίνακα $m\times n$ του οποίου οι καταχωρήσεις είναι ανεξάρτητες ταυτόσημα κατανεμημένες τυχαίες μεταβλητές με μέση τιμή 0 και διακύμανση ${\sigma }^2<\mathrm{\infty }$, έστω

$Y_n=\frac{1}{n}X{X}^T$

και έστω ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_m$ είναι οι ιδιοτιμές του $Y_n$ (θεωρούμενες ως τυχαίες μεταβλητές). Τέλος, ας θεωρήσουμε το τυχαίο μέτρο

${\mu }_m(A)=\frac{1}{m}\mathrm{\#}\{{\lambda }_j\in A\},A\subset ℝ.$

μετρώντας τον αριθμό των ιδιοτιμών στο υποσύνολο $A$ που περιλαμβάνεται στο $ℝ$.

Θεώρημα. Έστω ότι that $m,n\to \mathrm{\infty }$ έτσι ώστε ο λόγος $m/n\to \lambda \in (0,+\mathrm{\infty })$. Τότε ${\mu }_m\to \mu$(σε ασθενή* τοπολογία στην κατανομή), όπου

$\mu (A)=\{\begin{array}{cc}(1-\frac{1}{\lambda }){\mathrm{𝟏}}_{0\in A}+\nu (A),& \text{if }\lambda >1\\ \nu (A),& \text{if }0\le \lambda \le 1,\end{array}$

και

$d\nu (x)=\frac{1}{2\pi {\sigma }^2}\frac{\sqrt{({\lambda }_{+}-x)(x-{\lambda }_{-})}}{\lambda x}{\mathrm{𝟏}}_{x\in [{\lambda }_{-},{\lambda }_{+}]}dx$

με

${\lambda }_{\pm }={\sigma }^2(1\pm \sqrt{\lambda }{)}^2.$

Ο νόμος Μαρτσένκο-Παστούρ εμφανίζεται επίσης ως ελεύθερος νόμος Πουασόν στην ελεύθερη θεωρία πιθανοτήτων, με ρυθμό $1/\lambda$ και μέγεθος άλματος ${\sigma }^2$.

Ροπές

Για κάθε $k\ge 1$, its $k$-th ροπή του είναιΠρότυπο:Sfnm

$\sum _{r=0}^{k-1}\frac{{\sigma }^{2k}}{r+1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{r})(\genfrac{}{}{0ex}{}{k-1}{r}){\lambda }^r=\frac{{\sigma }^{2k}}{k}\sum _{r=0}^{k-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{r})(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{r+1}){\lambda }^r$

Ορισμένοι μετασχηματισμοί αυτού του νόμου

Ο μετασχηματισμός του Στίλτζες δίνεται από τη σχέση

$s(z)=\frac{{\sigma }^2(1-\lambda )-z+\sqrt{(z-{\sigma }^2(\lambda +1){)}^2-4\lambda {\sigma }^4}}{2\lambda z{\sigma }^2}$

για μιγαδικούς αριθμούς Πρότυπο:Mvar με θετικό φανταστικό μέρος, όπου η μιγαδική τετραγωνική ρίζα θεωρείται ότι έχει επίσης θετικό φανταστικό μέρος.Πρότυπο:Sfnm Ο μετασχηματισμός Στίλτζες μπορεί να επαναδιατυπωθεί στη μορφή του μετασχηματισμού R, ο οποίος δίνεται από Πρότυπο:Sfnm

$R(z)=\frac{{\sigma }^2}{1-{\sigma }^2\lambda z}$

Ο μετασχηματισμός S δίνεται από τη σχέση Πρότυπο:Sfnm

$S(z)=\frac{1}{{\sigma }^2(1+\lambda z)}.$

Εφαρμογή σε πίνακες συσχέτισης

Για την ειδική περίπτωση των πινάκων συσχέτισης, γνωρίζουμε ότι

${\sigma }^2=1$ and $\lambda =m/n$. Αυτό περιορίζει τη μάζα πιθανοτήτων στο διάστημα που ορίζεται από τη σχέση

${\lambda }_{\pm }={(1\pm \sqrt{\frac{m}{n}})}^2.$

Δεδομένου ότι η κατανομή αυτή περιγράφει το φάσμα των τυχαίων πινάκων με μέσο όρο 0, οι ιδιοτιμές των πινάκων συσχέτισης που εμπίπτουν στο προαναφερθέν διάστημα θα μπορούσαν να θεωρηθούν ως ψευδείς ή θόρυβος. Παραδείγματος χάριν, η λήψη ενός πίνακα συσχέτισης 10 αποδόσεων μετοχών που υπολογίζονται για μια περίοδο 252 ημερών διαπραγμάτευσης θα απέδιδε ${\lambda }_{+}={(1+\sqrt{\frac{10}{252}})}^2\approx 1.43$. Έτσι, από τις 10 ιδιοτιμές του εν λόγω πίνακα συσχέτισης, μόνο οι τιμές μεγαλύτερες από 1,43 θα θεωρούνταν σημαντικά διαφορετικές από τις τυχαίες.

Δημοσιεύσεις

• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Diodorus Siculus, Bibliotheca Historica. Vol. 1–2. Immanel Bekker. Ludwig Dindorf. Friedrich Vogel. in aedibus B. G. Teubneri. Leipzig. 1888–1890. Greek text available at the Perseus Digital Library.
• O. C. Zienkiewicz, R. L. Taylor, J. Z. Zhu : The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals, Butterworth-Heinemann (2005).
• Πρότυπο:Cite web
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Πραγματικός αριθμός
• Αντιερμιτιανός πίνακας
• Μέγιστος κοινός διαιρέτης
• Υπολογιστική βιολογία
• Ελάσσων (γραμμική άλγεβρα)
• Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
• Συμμετρικός πίνακας
• Παραμετρικές εξισώσεις
• Πολλαπλασιασμός πινάκων
• Επαναλαμβανόμενη συνάρτηση
• Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα
• Κανονική κατανομή
• Θεωρία πιθανοτήτων
• High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Matrix calculator
• Matrix Analysis
• Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...
• Exercises of Matrices and Linear Algebra
• Eigenvalue Distribution of Large Random Matrices
• Quantum Probability and Spectral Analysis of Graphs.
• Physics and Combinatorics 2000: Proceedings of the Nagoya 2000 International ...
• Quantum Mesoscopic Phenomena and Mesoscopic Devices in Microelectronics
• Limit Theorems in Probability, Statistics and Number Theory: In Honor of ...
• The Semicircle Law, Free Random Variables and Entropy....
• Lectures on the Combinatorics of Free Probability, Τόμος 13

Παραπομπές

• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal Link to free-access pdf of Russian version
• Πρότυπο:Cite book Link to free download Another free access site
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal