Λέοπολντ Γκεγκενμπάουερ

Πρότυπο:Πληροφορίες προσώπου Ο Λέοπολντ Μπέρνχαρντ Γκέγκενμπαουερ (γερμανικά: Leopold Bernhard Gegenbauer) (Ασπερχόφεν, 2 Φεβρουαρίου 1849 - Γκίσιχουλ, 3 Ιουνίου 1903) ήταν Αυστριακός μαθηματικός, γνωστός για το έργο του στην άλγεβρα.

Βιογραφία

Ήταν γιος του χειρουργού Βίκτοριν Γκεγκενμπάουερ και της Αμαλί Ζάιτζεμ. Σπούδασε στο Πανεπιστήμιο της Βιέννης μεταξύ 1869 και 1873. Ἐπειτα συνέχισε τις σπουδές του στο Βερολίνο μεταξύ 1873 και 1875 υπό την καθοδήγηση των Καρλ Βάιερστρας και Λέοπολντ Κρόνεκερ.

Μετά την αποφοίτησή του στο Βερολίνο, ο Γκεγκενμπάουερ προτάθηκε για τη θέση του έκτακτου καθηγητή στο Πανεπιστήμιο του Τσερνόβιτς το 1875. Η πόλη, στην κορυφή του ποταμού Προυτ στους Καρπάθιους λόφους, ανήκε τότε στην επικράτεια της Αυστροουγγρικής Αυτοκρατορίας, αλλά έγινε ρουμανική μετά τον Πρώτο Παγκόσμιο Πόλεμο, προτού μετονομαστεί σε Τσερνίβτσι και γίνει ουκρανική πόλη το 1944. Το Πανεπιστήμιο του Τσέρνοβιτς ιδρύθηκε το 1875 και ο Γκεγκενμπάουερ ήταν ο πρώτος καθηγητής του στα μαθηματικά. Έμεινε εκεί για τρία χρόνια πριν φύγει για το Πανεπιστήμιο του Ίνσμπρουκ, όπου συνεργάστηκε με τον Ότο Στολτς στην ίδια θέση.

Εργασίες

Ο Γκεγκενμπάουερ ενδιαφερόταν για διάφορους τομείς των μαθηματικών, όπως η θεωρία αριθμών, η μιγαδική ανάλυση και η θεωρία ολοκλήρωσης, αλλά ο κύριος τομέας του ήταν η άλγεβρα. Είναι γνωστός για τα πολυώνυμα Γκεγκενμπάουερ, μια οικογένεια ορθογώνιων πολυωνύμων. Προκύπτουν από μια υπεργεωμετρική σειρά σε περιπτώσεις όπου η σειρά είναι πεπερασμένη. Τα πολυώνυμα Γκεγκενμπάουερ είναι λύσεις μιας διαφορικής εξίσωσης και αποτελούν γενίκευση των σχετικών πολυωνύμων Legendre.

Τα πολυώνυμα Γκεγκενμπάουερ $C_n^{(\alpha )}(z)$ που μελετήθηκαν από τον Λέοπολντ Γκεγκενμπάουερ στη διατριβή του το 1875, ορίζονται μέσω μιας συνάρτησης παραγώγου.

$\frac{1}{(1-2zt+t^2{)}^{\alpha }}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_n^{(\alpha )}(z)t^n.$

Μπορούν επίσης να αναπαρασταθούν ως εξής

$C_n^{(\alpha )}(z)=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1{)}^k\frac{\mathrm{\Gamma }(n-k+\alpha )}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )k!(n-2k)!}(2z{)}^{n-2k},$

όπου $\mathrm{\Gamma }(s)$ είναι η συνάρτηση γάμμα, και $\lfloor n/2\rfloor$ δηλώνει το ακέραιο μέρος του αριθμού n/2.

Ο Γκεγκενμπάουερ έδωσε επίσης το όνομά του σε αριθμητικές συναρτήσεις που μελετώνται στην αναλυτική θεωρία αριθμών. Οι συναρτήσεις Γκεγκενμπάουερ Ρ και ρ (σημειωμένες με το ελληνικό γράμμα rho) ορίζονται ως εξής:

$P_{a,r}(n):=\sum _{d\mid n;d^{1/r}\in \mathbb{N}}{d}^a=:n^a{\rho }_{-a,r}(n)$

Το 1973, ένας δρόμος στη συνοικία Φλόριντσντορφ της Βιέννης (21. Bezirk) ονομάστηκε Γκεγκενμπάουερ προς τιμήν του.

Κυριότερες συνεισφορές

• Πρότυπο:Lang, 1890
• Πρότυπο:Lang, 1892