Μέθοδος δεύτερης ροπής

Στην θεωρία πιθανοτήτων, η μέθοδος της δεύτερης ροπής αναφέρεται σε τεχνική απόδειξης ότι μία τυχαία μεταβλητή $X$ είναι μη-μηδενική με θετική πιθανότητα, δηλαδή $\mathrm{Pr}(X\ne 0)>0$, με την χρήση της ροπής δεύτερης τάξης, δηλαδή την $\mathrm{E}(X^2)$ ή διακύμανση $\mathrm{Var}(X)$. Συνήθως αναφέρεται στην χρήση της εξής ανισότητας για κάθε ακέραια τυχαία μεταβλητή $X$ με $\mathrm{E}(X)\ne 0$,Πρότυπο:RpΠρότυπο:Rp

$\mathrm{Pr}(X=0)\le \frac{\mathrm{Var}(X)}{(\mathrm{E}(X){)}^2}.$

Για μη-αρνητική τυχαία μεταβλητή $X$, εμφανίζεται και με την μορφή

$\mathrm{Pr}(X>0)\ge \frac{(\mathrm{E}(X){)}^2}{\mathrm{E}(X^2)}.$

Αποδείξεις

1η Μορφή

Για την τυχαία μεταβλητή $X$ με διακύμανση $\mathrm{Var}(X)<\mathrm{\infty }$, η ανισότητα Τσεμπισιόφ δίνει για $a=\mathrm{E}(X)$

$\mathrm{Pr}(|X-\mathrm{E}(X)|\ge \mathrm{E}(X))\le \frac{\mathrm{Var}(X)}{(\mathrm{E}(X){)}^2}.$

Όταν $X=0$ έπεται ότι $|X-\mathrm{E}(X)|\ge \mathrm{E}(X)$. Συνεπώς,

$\mathrm{Pr}(X=0)\le \mathrm{Pr}(|X-\mathrm{E}(X)|\ge \mathrm{E}(X))\le \frac{\mathrm{Var}(X)}{(\mathrm{E}(X){)}^2}.$

2η Μορφή

Η ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς δίνει ότι για δύο τυχαίες μεταβλητές $A$ και $B$, ισχύει ότι

$(\mathrm{E}(AB){)}^2\le \mathrm{E}(A^2)\mathrm{E}(B^2).$

Για την ζητούμενη ανισότητα, θεωρούμε την δείκτρια τυχαία μεταβλητή $Z={\mathrm{𝟏}}_{X>0}$, για την οποία ισχύει ότι $\mathrm{E}(Z)=\mathrm{Pr}(X>0)$ και $Z^2=Z$ από τις ιδιότητες των δείκτριων τυχαίων μεταβλητών. Επίσης, ισχύει ότι

$Z\cdot X=X$,

καθώς η $X$ είναι μη-αρνητική και αν $X=0$ τότε και $Z=0$ (άρα $0=ZX=X$), ενώ διαφορετικά $Z=1$ (άρα $ZX=X$). Συνεπώς χρησιμοποιώντας την ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς,

$(\mathrm{E}(X){)}^2=(\mathrm{E}(ZX){)}^2\le \mathrm{E}(Z^2)\cdot \mathrm{E}(X^2)=\mathrm{E}(Z)\cdot \mathrm{E}(X^2)=\mathrm{Pr}(X>0)\cdot \mathrm{E}(X^2).$

Αναδιατάσσοντας τα δύο μέλη της ανισότητας, προκύπτει το ζητούμενο

$\mathrm{Pr}(X>0)\ge \frac{(\mathrm{E}(X){)}^2}{\mathrm{E}(X^2)}.$