Μετασχηματισμός Clarke

Στην ηλεκτρική  μηχανική, ο μετασχηματισμός  άλφα-βήτα ($\alpha -\beta$)  (γνωστός επίσης και ως  μετασχηματισμός Clarke) είναι ένα μαθηματικός μετασχηματισμός που χρησιμοποιείται για να απλοποιηθεί η ανάλυση των τριφασικών κυκλώματων. Εννοιολογικά είναι παρόμοιος με τον μετασχηματισμό dq0. Μια πολύ χρήσιμη εφαρμογή του μετασχηματισμού $\alpha \beta \gamma$  είναι η δημιουργία του  σήματος αναφοράς, που χρησιμοποιείται για τον έλεγχο της διαμόρφωσης των διανυσμάτων χώρου (space vector modulation control) των  τριφασικών  inverter.

Ορισμός

O μετασχηματισμός $\alpha \beta \gamma$ που εφαρμόζεται σε τριφασικά ρεύματα, όπως χρησιμοποιήθηκε από την Edith Clarke, είναι:

$i_{\alpha \beta \gamma }(t)=T{i}_{abc}(t)=\frac{2}{3}\left[\begin{array}{ccc}1& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ 0& \frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{i}_a(t)\\ i_b(t)\\ i_c(t)\end{array}\right]$

όπου $i_{abc}(t)$ είναι μία  γενική ακολουθία  τριφασικών ρευμάτων και $i_{\alpha \beta \gamma }(t)$ είναι η αντίστοιχη  ακολουθία ρευμάτων, που προκύπτει από το μετασχηματισμό $T$. Ο αντίστροφος μετασχηματισμός είναι:

$i_{abc}(t)=T^{-1}{i}_{\alpha \beta \gamma }(t)=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ -\frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}& 1\\ -\frac{1}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{i}_{\alpha }(t)\\ i_{\beta }(t)\\ i_{\gamma }(t)\end{array}\right].$

Ο παραπάνω μετασχηματισμός του Clarke διατηρεί τα πλάτη των ηλεκτρικών μεταβλητών πάνω στις οποίες εφαρμόζεται. Πράγματι, θεωρήστε τη συμμετρική τριφασική, ακολουθία ρευμάτων:

$\begin{array}{cc}{i}_a(t)=& \sqrt{2}I\cos \theta (t),\\ i_b(t)=& \sqrt{2}I\cos (\theta (t)-\frac{2}{3}\pi ),\\ i_c(t)=& \sqrt{2}I\cos (\theta (t)+\frac{2}{3}\pi ),\end{array}$

πού $I$ είναι η Ενεργός τιμή (RMS) των $i_a(t)$, $i_b(t)$, $i_c(t)$ και $\theta (t)$ είναι μία γενική χρονικά μεταβαλλόμενη γωνία, που μπορεί επίσης να τεθεί και σαν $\omega t$,  χωρίς απώλεια της γενικότητας. Στη συνέχεια, με την εφαρμογή του $T$ στην ακολουθία ρευμάτων, προκύπτει:

$\begin{array}{cc}{i}_{\alpha }=& \sqrt{2}I\cos \theta (t),\\ i_{\beta }=& \sqrt{2}I\sin \theta (t),\\ i_{\gamma }=& 0,\end{array}$

όπου η τελευταία εξίσωση ισχύει εφ' όσον θεωρούμε ισοσταθμισμένα ρεύματα. Όπως φαίνεται από τις παραπάνω σχέσεις, τα πλάτη των ρευμάτων στο σύστημα αναφοράς $\alpha \beta \gamma$  είναι τα ίδια, όπως και στο φυσικό σύστημα αναφοράς.

Μετασχηματισμός αμετάβλητης ισχύος

Η πραγματική και η άεργος ισχύς που υπολογίζονται στο πεδίο του Clarke  με τον παραπάνω μετασχηματισμό, δεν είναι τα ίδιες με αυτές που υπολογίζονται στο φυσικό σύστημα αναφοράς. Αυτό συμβαίνει επειδή ο $T$ δεν είναι μοναδιαίος. Προκειμένου να διατηρηθεί η πραγματική και άεργος ισχύς πρέπει αντ' αυτού, να χρησιμοποιηθεί ο μετασχηματισμός:

$i_{\alpha \beta \gamma }(t)=T{i}_{abc}(t)=\sqrt{\frac{2}{3}}\left[\begin{array}{ccc}1& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ 0& \frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{i}_a(t)\\ i_b(t)\\ i_c(t)\end{array}\right],$

Σε αυτή την περίπτωση τα πλάτη των μετασχηματισμένων ρευμάτων δεν είναι τα ίδια με εκείνα του φυσικού συστήματος αναφοράς, δηλ.:

$\begin{array}{cc}{i}_{\alpha }=& \sqrt{3}I\cos \theta (t),\\ i_{\beta }=& \sqrt{3}I\sin \theta (t),\\ i_{\gamma }=& 0.\end{array}$

Τελικά, ο αντίστροφος μετασχηματισμός σε αυτή την περίπτωση είναι

$i_{abc}(t)=\sqrt{\frac{2}{3}}\left[\begin{array}{ccc}1& 0& \frac{1}{\sqrt{2}}\\ -\frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{\sqrt{2}}\\ -\frac{1}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{i}_{\alpha }(t)\\ i_{\beta }(t)\\ i_{\gamma }(t)\end{array}\right].$

Απλοποιημένος μετασχηματισμός

Δεδομένου ότι σε ένα ισορροπημένο σύστημα $i_a(t)+i_b(t)+i_c(t)=0$ και έτσι $i_{\gamma }(t)=0$, μπορούμε επίσης να χρησιμοποιήσουμε τον απλοποιημένο μετασχηματισμό:

$i_{\alpha \beta }(t)=\frac{2}{3}\left[\begin{array}{ccc}1& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ 0& \frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{i}_a(t)\\ i_b(t)\\ i_c(t)\end{array}\right]$

ο οποίος είναι απλά ο αρχικός μετασχηματισμός του Clarke,  μετά  την αφαίρεση της 3ης εξίσωσης. Στην περίπτωση του απλοποιημένου μετασχηματισμού ο αντίστροφος μετασχηματισμός είναι:

$i_{abc}(t)=\frac{3}{2}\left[\begin{array}{cc}\frac{2}{3}& 0\\ -\frac{1}{3}& \frac{\sqrt{3}}{3}\\ -\frac{1}{3}& -\frac{\sqrt{3}}{3}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{i}_{\alpha }(t)\\ i_{\beta }(t)\end{array}\right].$

Γεωμετρική Αναπαράσταση

Ο μετασχηματισμός $\alpha \beta \gamma$ μπορεί να θεωρηθεί σαν η προβολή των τριφασικών ποσοτήτων (τάσεων ή ρευμάτων) σε δύο στατικούς άξονες, τον  άξονα-$\alpha$ και τον άξονα-$\beta$.

Παραπάνω φαίνεται ο μετασχηματισμός $\alpha \beta \gamma$ , όπως εφαρμόζεται σε τρία συμμετρικά ρεύματα που ρέουν μέσα από τρεις περιελίξεις που διαφέρουν κατά 120 μοίρες. Τα τριφασικά ρεύματα έπονται των αντίστοιχων τάσεων φάσης κατά $\delta$. Το σύστημα αναφοράς $\alpha$-$\beta$, εμφανίζεται με τον άξονα $\alpha$ να ευθυγραμμίζεται με την φάση"Α". Το διάνυσμα ρεύματος $I_{\alpha \beta \gamma }$περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα $\omega$. Η συνιστώσα $\gamma$ δεν υπάρχει, δεδομένου ότι τα ρεύματα είναι ισορροπημένα.

Μετασχηματισμός $dq0$

Ο μετασχηματισμός $dq0$  είναι εννοιολογικά παρόμοιος με το μετασχηματισό $\alpha \beta \gamma$. Ενώ ο μετασχηματισμός $dq0$ είναι η προβολή των φασικών ποσότητων επάνω σε ένα περιστρεφόμενο σύστημα αναφοράς δύο-αξόνων, ο μετασχηματισμός $\alpha \beta \gamma$  μπορεί να θεωρηθεί ως η προβολή των φασικών ποσοτήτων σε ένα στατικό σύστημα αναφοράς δύο αξόνων.

Δείτε επίσης

• Symmetrical components
• Y-Δ transform
• Field-oriented control