Μιγαδική αναλυτική ποικιλία

Στα μαθηματικά, και ειδικότερα στη διαφορική γεωμετρία και τη μιγαδική γεωμετρία, μια μιγαδική αναλυτική ποικιλία ή ένας μιγαδικός αναλυτικός χώρος είναι η γενίκευση μιας μιγαδικής πολλαπλότητας που επιτρέπει ιδιομορφίες. Οι σύνθετες αναλυτικές ποικιλίες είναι τοπικά ανελλιπείς χώροι που είναι τοπικά ισομορφικοί με τοπικούς χώρους μοντέλων, όπου ένας τοπικός χώρος μοντέλων είναι ένα ανοικτό υποσύνολο του τόπου φυγής ενός πεπερασμένου συνόλου ολομορφικών συναρτήσεων.

Ορισμός

Συμβολίζουμε το σταθερό δεμάτιο σε έναν τοπολογικό χώρο με τιμή $ℂ$ με $\underset{\_}{ℂ}$. Ένας $ℂ$-χώρος είναι ένας τοπικά δακτυλιωμένος χώρος $(X,{𝒪}_X)$, του οποίου το δομικό δεμάτιο είναι μια άλγεβρα πάνω στο $\underset{\_}{ℂ}$.

Επιλέγουμε ένα ανοικτό υποσύνολο $U$ κάποιου μιγαδικού αφινικού χώρου ${ℂ}^n$, και ορίζουμε πεπερασμένα πολλές ολομορφικές συναρτήσεις $f_1,\dots ,f_k$ στο $U$. Έστω $X=V(f_1,\dots ,f_k)$ ο κοινός τόπος φυγής αυτών των ολομορφικών συναρτήσεων, δηλαδή $X=\{x\mid f_1(x)=\cdots =f_k(x)=0\}$. Ορίζουμε ένα δεμάτιο δακτυλίων στο $X$ αφήνοντας ${𝒪}_X$ να είναι ο περιορισμός στο $X$ του ${𝒪}_U/(f_1,\dots ,f_k)$, όπου ${𝒪}_U$ είναι το δεμάτιο ολομορφικών συναρτήσεων στο $U$. Τότε ο τοπικά δακτυλιωμένος $ℂ$-χώρος $(X,{𝒪}_X)$ είναι ένας τοπικός πρότυπος χώρος.

Μια μιγαδική αναλυτική ποικιλία είναι ένα τοπικό δακτύλιο. $ℂ$-space $(X,{𝒪}_X)$ που είναι τοπικά ισομορφικό με έναν τοπικό πρότυπο χώρο.

Οι μορφισμοί των μιγαδικών αναλυτικών ποικιλιών ορίζονται ως μορφισμοί των υποκείμενων τοπικά δακτυλιωμένων χώρων, ονομάζονται επίσης ολομορφικοί χάρτες. Μια δομική δέσμη μπορεί να έχει μηδενικό στοιχείο,Πρότυπο:Sfn και επίσης, όταν ο μιγαδικός αναλυτικός χώρος του οποίου η δομική δέσμη είναι αναγωγική, τότε ο μιγαδικός αναλυτικός χώρος είναι αναγωγικός, δηλαδή ο μιγαδικός αναλυτικός χώρος μπορεί να μην είναι αναγωγικός.

Ένας σχετιζόμενος μιγαδικός αναλυτικός χώρος (ποικιλία) $X_h$ είναι τέτοιος ώστε;Πρότυπο:Sfn

Έστω X σχήματα πεπερασμένου τύπου πάνω από $ℂ$, και καλύψτε το X με ανοικτό αφινικό υποσύνολο $Y_i=\mathrm{Spec}{A}_i$ ($X=\cup Y_i$) (φάσμα ενός δακτυλίου). Τότε κάθε $A_i$ είναι μια άλγεβρα πεπερασμένου τύπου πάνω στο $ℂ$, και $A_i\simeq ℂ[z_1,\dots ,z_n]/(f_1,\dots ,f_m)$. Όπου $f_1,\dots ,f_m$ είναι πολυώνυμα στο $z_1,\dots ,z_n$, το οποίο μπορεί να θεωρηθεί ως ολομορφική συνάρτηση στο $ℂ$. Επομένως, το κοινό τους μηδέν του συνόλου είναι ο μιγαδικός αναλυτικός υποχώρος $(Y_i{)}_h\subseteq ℂ$. Εδώ, το σχήμα X λαμβάνεται με την συγκόλληση των δεδομένων του συνόλου $Y_i$, και στη συνέχεια τα ίδια δεδομένα μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την συγκόλληση του μιγαδικού αναλυτικού χώρου $(Y_i{)}_h$ σε έναν μιγαδικό αναλυτικό χώρο $X_h$, οπότε ονομάζουμε $X_h$ έναν συσχετισμένο μιγαδικό αναλυτικό χώρο με το X. Ο μιγαδικός αναλυτικός χώρος X είναι μειωμένος αν και μόνο αν ο συσχετισμένος μιγαδικός αναλυτικός χώρος $X_h$ μειωμένος.

Δημοσιεύσεις

• Lectures on Complex Analytic Varieties (MN-14), Volume 14: Finite Analytic
• Complex Analytic Geometry: From The Localization Viewpoint
• Several Complex Variables and Complex Geometry, Part III

Δείτε επίσης

• Algebraic Geometry
• Αλγεβρική ποικιλία

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Kiran Kedlaya. 18.726 Algebraic Geometry (LEC # 30 - 33 GAGA)Spring 2009. Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCourseWare Creative Commons BY-NC-SA.
• Tasty Bits of Several Complex Variables (p. 137) open source book by Jiří Lebl BY-NC-SA.
• Onishchik, A.L. (2001) [1994], "Analytic space", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• El'kin, A.G. (2001) [1994], "Analytic set", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Πρότυπο:Cite journal

Σημειώσεις

• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite webΠρότυπο:Dead link (no.10-13)
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite journal

Πρότυπο:Authority control Πρότυπο:Portal bar