Νόμος της τριχοτομίας

Στα μαθηματικά, ο νόμος της τριχοτομίας δηλώνει ότι κάθε πραγματικός αριθμός είναι είτε θετικός, είτε αρνητικός ή μηδέν.

Γενικότερα, μια δυαδική σχέση R σε ένα σύνολο X είναι τριχοτομική, αν για όλα τα x και y στο X, ακριβώς ένα από τα xRy, yRx και x = y ισχύει. Γράφοντας το R ως <, αυτό δηλώνεται στην επίσημη λογική ως:

$\mathrm{\forall }x\in X\mathrm{\forall }y\in X([x<y\wedge \mathrm{\neg }(y<x)\wedge \mathrm{\neg }(x=y)]\vee [\mathrm{\neg }(x<y)\wedge y<x\wedge \mathrm{\neg }(x=y)]\vee [\mathrm{\neg }(x<y)\wedge \mathrm{\neg }(y<x)\wedge x=y]).$

Ιδιότητες

• Μια σχέση είναι τριχοτομική αν και μόνο αν είναι ασυμμετρική.

Παραδείγματα

• Στο σύνολο X = {a,b,c}, η σχέση R = { (a,b), (a,c), (b,c) } είναι μεταβατική και τριχοτομική και επομένως μια αυστηρή ολική διάταξη.
• Στο ίδιο σύνολο, η κυκλική σχέση R = { (a,b), (b,c), (c,a) } είναι τριχοτομική, αλλά όχι μεταβατική.

Τριχοτομία στους αριθμούς

Ο νόμος της τριχοτομίας σε κάποιο σύνολο αριθμών Χ συνήθως εκφράζει ότι κάποια δεδομένη σχέση διάταξης στο Χ είναι τριχοτομική. Ένα παράδειγμα είναι ο νόμος "Για αυθαίρετους πραγματικούς αριθμούς x και y, ακριβώς ένας από τα x<y, y<x και x=y ισχύει".

Στην κλασσική λογική, αυτό το αξίωμα της τριχοτομίας ισχύει για τη συνήθη σύγκριση μεταξύ πραγματικών αριθμών και επομένως και για συγκρίσεις μεταξύ ακεραίων και μεταξύ ρητών αριθμών.

Στη θεωρία συνόλων Zermelo–Fraenkel και στη θεωρία συνόλων Bernays, ο νόμος της τριχοτομίας ισχύει μεταξύ των πληθικών αριθμών των καλά διατεταγμένων συνόλων ακόμη και χωρίς το αξίωμα της επιλογής. Εάν ισχύει το αξίωμα της επιλογής, τότε η τριχοτομία ισχύει μεταξύ αυθαίρετων πληθικών αριθμών (επειδή είναι όλοι καλά διατεταγμένοι σε αυτήν την περίπτωση).

Δείτε επίσης

• Διχοτόμηση
• Αρχή αποκλειόμενου μέσου