Νόμος των Μπιό-Σαβάρ

Πρότυπο:Πτυσσόμενη μπάρα πλοήγησης Ο νόμος των Μπιό-Σαβάρ (Biot- Savart) είναι μια εξίσωση του ηλεκτρομαγνητισμού που περιγράφει το διάνυσμα της μαγνητικής επαγωγής $𝐁$ (επίσης καλούμενο "ένταση του μαγνητικού πεδίου") μέσω του μέτρου και της διεύθυνσης του ηλεκτρικού ρεύματος, της απόστασης από το ηλεκτρικό ρεύμα, και της μαγνητικής διαπερατότητας.

Η σημασία του νόμου των Μπιό-Σαβάρ έγκειται στο ότι είναι ένας νόμος αντίστροφου τετραγώνου, που αποτελεί λύση στο νόμο του Αμπέρ. Είναι επίσης λύση της εξίσωσης στροβιλότητας: $\mathrm{\nabla }\times 𝐀=𝐁$, όπου το $𝐀$ μπορεί να θεωρηθεί ως το μαγνητικό διανυσματικό δυναμικό του $𝐁$. Παρέχει λοιπόν τη λύση του πεδίου $𝐁$ στις εξισώσεις του Μάξγουελ, όπως ακριβώς ο νόμος του Κουλόμπ παρέχει τη λύση του πεδίου $𝐄$.

Η ίδια εξίσωση, και με την ίδια ονομασία, χρησιμοποιείται επίσης στην αεροδυναμική για τη μοντελοποίηση του πεδίου ταχυτήτων στη περιοχή γύρω από μία δίνη (vortex) .

Εισαγωγή

Ο νόμος των Μπιό-Σαβάρ είναι τόσο θεμελιώδης για τη μαγνητοστατική, όσο είναι ο νόμος του Κουλόμπ για την ηλεκτροστατική.

Πιο συγκεκριμένα, εάν ορίσουμε ένα απειροστό στοιχείο ρεύματος

$Id𝐥,$

τότε το αντίστοιχο διαφορικό στοιχείο του μαγνητικού πεδίου είναι

$d𝐁=K_m\frac{Id𝐥\times \widehat{𝐫}}{r^2}$

όπου

$K_m=\frac{{\mu }_0}{4\pi }$, όπου ${\mu }_0$ είναι η μαγνητική σταθερά,

$I$ είναι το ρεύμα, το οποίο μετριέται σε Αμπέρ,

$d𝐥$ είναι το διαφορικό διάνυσμα μήκους του στοιχείου ρεύματος,

$\widehat{𝐫}$ είναι το μοναδιαίο διάνυσμα με διεύθυνση από το στοιχείο ρεύματος στο σημείο που υπολογίζεται το πεδίο Β,

$r$ είναι η απόσταση από το στοιχείο ρεύματος στο σημείο του πεδίου Β.

Μορφές

Γενικά

Στη μαγνητοστατική, το μαγνητικό πεδίο μπορεί να προσδιοριστεί εάν είναι γνωστή η πυκνότητα ρεύματος $𝐉$:

$𝐁=K_m\int \frac{𝐉\times \widehat{𝐫}}{r^2}dv$

όπου

$\widehat{𝐫}=\frac{𝐫}{r}$ είναι το μοναδιαίο διάνυσμα στη διεύθυνση του $𝐫$ και

$dv$ = είναι το διαφορικό στοιχείο όγκου.

Συνεχές ομογενές ρεύμα

Στην ειδική περίπτωση ενός σταθερού, ομογενούς ρεύματος $𝐈$, το μαγνητικό πεδίο $𝐁$ είναι

$𝐁=K_{m}I\int \frac{d𝐥\times \widehat{𝐫}}{r^2}$

Σημειακό φορτίο με σταθερή ταχύτητα

Στην ειδική περίπτωση ενός σημειακού φορτισμένου σωματιδίου $q$ που κινείται με σταθερή ταχύτητα $𝐯$, η παραπάνω εξίσωση για το μαγνητικό πεδίο παίρνει τη μορφή:

$𝐁=K_m\frac{q𝐯\times \widehat{𝐫}}{r^2}$

Μικροσκοπική κλίμακα

Στη μικροσκοπική κλίμακα, ο νόμος των Μπιό-Σαβάρ γίνεται

$𝐇=ϵ𝐯\times 𝐄$

όπου η λύση στο $𝐄$ είναι η δύναμη Κουλόμπ, και όπου

$𝐁=\mu 𝐇$

οπότε,

$𝐁=𝐯\times \frac{1}{c^2}𝐄$

Δείτε επίσης

Πρόσωπα

• Ζαν-Μπατίστ Μπιό
• Φελίξ Σαβάρ
• Αντρέ Μαρί Αμπέρ
• Τζέιμς Κλαρκ Μάξγουελ

Ηλεκτρομαγνητισμός

• Εξισώσεις Μάξουελ
• Νόμος του Αμπέρ
• Μαγνητισμός
• Νόμος του Κουλόμπ

Πηγές

• Πρότυπο:Cite book

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Electromagnetism Πρότυπο:Webarchive, B. Crowell, Fullerton College
• MISN-0-125 The Ampere-Laplace-Biot-Savart Law (PDF file) by Orilla McHarris and Peter Signell for Project PHYSNET.

Πρότυπο:Authority control