Πίνακας Κωσύ

Στα μαθηματικά, ένας πίνακας Κωσύ, που πήρε το όνομά του από τον Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ, είναι ένας m×n πίνακας με στοιχεία a_ij της μορφής

$a_{ij}=\frac{1}{x_i-y_j};x_i-y_j\ne 0,1\le i\le m,1\le j\le n$

όπου $x_i$ και $y_j$ είναι στοιχεία ενός σώματος $ℱ$, και $(x_i)$ και $(y_j)$ είναι ερριπτικές ακολουθίες (περιέχουν διακριτά στοιχεία).

Ο πίνακας Χίλμπερτ είναι μια ειδική περίπτωση του πίνακα Κωσύ, όπου

$x_i-y_j=i+j-1.$

Κάθε Υποπίνακας ενός πίνακα Κωσύ είναι ο ίδιος ένας πίνακας Κωσύ.

Ορίζουσα Κωσύ

Ο ορίζουσα ενός πίνακα Κωσύ είναι σαφώς ένα ρητό κλάσμα στις παραμέτρους $(x_i)$ και $(y_j)$. Αν οι ακολουθίες δεν ήταν ερριπτικές, η ορίζουσα θα μηδενιζόταν και θα έτεινε στο άπειρο αν κάποιο $x_i$ έτεινε στο $y_j$. Ένα υποσύνολο των μηδενικών και των πόλων της είναι επομένως γνωστό. Γεγονός είναι ότι δεν υπάρχουν πλέον μηδενικά και πόλοι:

Η ορίζουσα ενός τετραγωνικού πίνακα Κωσύ Α' είναι γνωστή ως ορίζουσα Κωσύ και μπορεί να δοθεί ρητά ως εξής

$\det 𝐀=\frac{\prod _{i=2}^n\prod _{j=1}^{i-1}(x_i-x_j)(y_j-y_i)}{\prod _{i=1}^n\prod _{j=1}^n(x_i-y_j)}$     (Schechter 1959, eqn 4; Cauchy 1841, p. 154, eqn. 10).

Είναι πάντοτε μη μηδενικός, και επομένως όλοι οι τετραγωνικοί πίνακες Κωσύ είναι αντιστρέψιμοι. Ο αντίστροφος A⁻¹ = B = [b_ij] δίνεται από τη σχέση

$b_{ij}=(x_j-y_i)A_j(y_i)B_i(x_j)$     (Schechter 1959, Theorem 1)

όπου A_i(x) και B_i(x) είναι τα πολυώνυμα Λαγκράνζ για $(x_i)$ και $(y_j)$, αντίστοιχα. Δηλαδή,

$A_i(x)=\frac{A(x)}{A^{\prime }(x_i)(x-x_i)}\text{και}{B}_i(x)=\frac{B(x)}{B^{\prime }(y_i)(x-y_i)},$

με

$A(x)=\prod _{i=1}^n(x-x_i)\text{και}B(x)=\prod _{i=1}^n(x-y_i).$

Γενίκευση

Ένας πίνακας C ονομάζεται Κωσύ-Λαικ αν είναι της μορφής

$C_{ij}=\frac{r_i{s}_j}{x_i-y_j}.$

Ορίζοντας X=diag(x_i), Y=diag(y_i), βλέπουμε ότι τόσο οι πίνακες Κωσύ όσο και οι πίνακες τύπου Κωσύ ικανοποιούν την εξίσωση μετατόπισης

$𝐗𝐂-𝐂𝐘=r{s}^{\mathrm{T}}$

(με $r=s=(1,1,\dots ,1)$ για το Κωσύ). Συνεπώς, οι πίνακες τύπου Κωσύ έχουν μια κοινή δομή μετατόπισης, η οποία μπορεί να αξιοποιηθεί κατά την εργασία με τον πίνακα. Παραδείγματος χάριν, υπάρχουν γνωστοί αλγόριθμοι στη βιβλιογραφία για

• προσεγγιστικός πολλαπλασιασμός πινάκων-διανυσμάτων του Κωσύ με $O(n\log n)$ ops (π.χ. η μέθοδος γρήγορης πολυπολικής μέθοδος),
• (περιστρεφόμενη) παραγοντοποίηση LU με $O(n^2)$ ops (αλγόριθμος GKO), και συνεπώς επίλυση γραμμικών συστημάτων,
• προσεγγιστικοί ή ασταθείς αλγόριθμοι για την επίλυση γραμμικών συστημάτων σε $O(n{\log }^{2}n)$.

Εδώ $n$ δηλώνει το μέγεθος του πίνακα (συνήθως έχουμε να κάνουμε με τετραγωνικούς πίνακες, αν και όλοι οι αλγόριθμοι μπορούν εύκολα να γενικευτούν σε ορθογώνιους πίνακες).

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Εσωτερικό γινόμενο
• Αντιερμιτιανός πίνακας
• Πίνακας (μαθηματικά)
• Τριγωνικός πίνακας
• Πραγματικός αριθμός
• Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
• Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ
• Ντάβιντ Χίλμπερτ
• Διωνυμικός συντελεστής
• High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form
• Algorithm overview

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Matrix calculator
• Matrix Analysis
• Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...
• Integral Matrices
• An Introduction to Computational Physics
• Elements of Hilbert Spaces and Operator Theory
• Matrix Computations
• A Hilbert Space Problem Book
• Iterated Function Systems, Moments, and Transformations of Infinite Matrices

Δημοσιεύσεις

• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• TiIo Finck, Georg Heinig, and Karla Rost: "An Inversion Formula and Fast Algorithms for Cauchy-Vandermonde Matrices", Linear Algebra and its Applications, vol.183 (1993), pp.179-191.
• Dario Fasino: "Orthogonal Cauchy-like matrices", Numerical Algorithms, vol.92 (2023), pp.619-637. url=https://doi.org/10.1007/s11075-022-01391-y .

Παραπομπές

• Jean van Heijenoort, 1967. From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931. Harvard Univ. Press.
• Πρότυπο:Cite book - an accessible set of lectures originally for the citizens of Göttingen.
• Πρότυπο:Cite book