Παραγοντική ροπή

Στην θεωρία πιθανοτήτων, η παραγοντική ροπή βαθμού $k\in \{0,1,\dots \}$ μίας τυχαίας μεταβλητής $X$, ορίζεται ως η αναμενόμενη τιμή

$\mathrm{E}[X^{(k)}]=\mathrm{E}[X\cdot (X-1)\cdot \dots \cdot (X-k+1)].$

Παραδείγματα

Κατανομή Πουασσόν

Έστω μία τυχαία μεταβλητή $X$ που ακολουθεί την κατανομή Πουασσόν με παράμετρο $\lambda >0$. Η παραγοντική ροπή βαθμού $k$ δίνεται από τον τυπο:

$\begin{array}{cc}\mathrm{E}[X^{(k)}]& =\sum _{x=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^x}{x!}\cdot x\cdot (x-1)\cdot \dots \cdot (x-k+1)\\ & ={\lambda }^k\cdot \sum _{x=k}^{\mathrm{\infty }}\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^{x-k}}{(x-k)!}\\ & ={\lambda }^k\cdot \sum _{x=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^x}{x!}\\ & ={\lambda }^k\cdot \sum _{x=0}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{P}(X=x)\\ & ={\lambda }^k.\end{array}$

Διωνυμική κατανομή

Έστω μία τυχαία μεταβλητή $X$ που ακολουθεί την διωνυμική κατανομή $𝖡𝗂𝗇(n,p)$. Η παραγοντική ροπή βαθμού $k$ δίνεται από τον τύπο:

$\begin{array}{cc}\mathrm{E}[X^{(k)}]& =\sum _{x=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{x})\cdot p^x\cdot (1-p{)}^{n-x}\cdot x\cdot (x-1)\cdot \dots \cdot (x-k+1)\\ & =\sum _{x=0}^n\frac{n!}{x!\cdot (n-x)!}\cdot p^x\cdot (1-p{)}^{n-x}\cdot x\cdot (x-1)\cdot \dots \cdot (x-k+1)\\ & =\sum _{x=k}^n\frac{n!}{(x-k)!\cdot (n-x)!}\cdot p^x\cdot (1-p{)}^{(n-k)-(x-k)}\\ & =n\cdot (n-1)\cdot \dots \cdot (n-k+1)\cdot \sum _{x=k}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-k}{x-k})\cdot p^x\cdot (1-p{)}^{(n-k)-(x-k)}\\ & =n\cdot (n-1)\cdot \dots \cdot (n-k+1)\cdot \sum _{x=0}^{n-k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-k}{x})\cdot p^x\cdot (1-p{)}^{(n-k)-x}\\ & =n\cdot (n-1)\cdot \dots \cdot (n-k+1).\end{array}$