Πεδίο ορισμού συνάρτησης
Στα μαθηματικά, το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης είναι το σύνολο των εισόδων που γίνονται δεκτοί από αυτή τη συνάρτηση. Μερικές φορές συμβολίζεται με ή ή , όπου Πρότυπο:Math είναι η συνάρτηση. Με απλά λόγια, το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης μπορεί γενικά να θεωρηθεί ως το "τι μπορεί να είναι το x".[1]
Πιο συγκεκριμένα, αν δίνεται μια συνάρτηση , το πεδίο ορισμού της Πρότυπο:Math είναι το Πρότυπο:Math. Στη σύγχρονη μαθηματική γλώσσα, το πεδίο ορισμού είναι ένα μέρος του ορισμού μιας συνάρτησης παρά μια ιδιότητά της.
Στην ειδική περίπτωση που το Πρότυπο:Math και το Πρότυπο:Math είναι υποσύνολα του , η συνάρτηση Πρότυπο:Math μπορεί να γραφτεί στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων. Στην περίπτωση αυτή, το πεδίο ορισμού ορίζεται στον άξονα Πρότυπο:Math της γραφικής παράστασης.
Για μια συνάρτηση , το σύνολο Πρότυπο:Math ονομάζεται πεδίο τιμών και το σύνολο στο οποίο ορίζονται οι τιμές του Πρότυπο:Math από τη συνάρτηση Πρότυπο:Math (που είναι ένα υποσύνολο του Πρότυπο:Math ) ονομάζεται σύνολο τιμών.
Οποιαδήποτε συνάρτηση μπορεί να περιοριστεί σε ένα υποσύνολο του πεδίου ορισμού της. Ο περιορισμός της συνάρτησης στο , όπου , γράφεται ως .
Μερική συνάρτηση
Εάν μια πραγματική συνάρτηση Πρότυπο:Mvar δίνεται από έναν τύπο, μπορεί να μην ορίζεται για ορισμένες τιμές της μεταβλητής x. Σε αυτήν την περίπτωση, η συνάρτηση αυτή ονομάζεται μερική.
Παραδείγματα
- Η συνάρτηση που ορίζεται από τον τύπο δεν έχει τιμή για x=0. Επομένως, το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών εκτός από το 0, το οποίο συμβολίζεται με ή .
- Η συνάρτηση που ορίζεται από τον τύπο έχει ως πεδίο ορισμού όλο το σύνολο των πραγματικών αριθμών.
- Η συνάρτηση της τετραγωνικής ρίζας έχει ως πεδίο ορισμού το σύνολο των μη αρνητικών πραγματικών αριθμών, που συμβολίζεται με , δηλαδή το διάστημα , ή .
- Η συνάρτηση της εφαπτομένης, που συμβολίζεται με , έχει ως πεδίο ορισμού το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών που δεν είναι της μορφής για κάποιο ακέραιο , το οποίο μπορεί να γραφτεί ως .
Άλλες χρήσεις
Ο όρος πεδίο ορισμού χρησιμοποιείται επίσης συνήθως με διαφορετική έννοια στη μαθηματική ανάλυση: το πεδίο ορισμού είναι ένα μη κενό, απλά συνεκτικό και ανοικτό σύνολο σε έναν τοπολογικό χώρο.
Μερικές φορές ένα τέτοιο πεδίο ορισμού χρησιμοποιείται ως το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης, αν και οι συναρτήσεις μπορούν να οριστούν και σε πιο γενικά σύνολα. Οι δύο έννοιες μερικές φορές συγχέονται όπως, για παράδειγμα, στη μελέτη των μερικών διαφορικών εξισώσεων: στην περίπτωση αυτή, το πεδίο ορισμού είναι ένα ανοιχτό, απλά συνεκτικό υποσύνολο του όπου τίθεται ένα πρόβλημα, καθιστώντας το σημαντικό τόσο στην ανάλυση τύπων όσο και στην αναζήτηση άγνωστων συναρτήσεων.