Συμμετρικό πολυώνυμο

Στα μαθηματικά, ένα πολυώνυμο $f(x_1,\dots ,x_n)$ με συντελεστές από τον μοναδιαίο δακτύλιο $ℛ$ λέγεται συμμετρικό αν ισχύει ότιΠρότυπο:Rp

$f(x_1,..x_n)=f(x_{\pi (x_1)},...,x_{\pi (x_n)})$,

για κάθε μετάθεση $\pi$ από $n$ στοιχεία.

Παραδείγματα

• Τα παρακάτω πολυώνυμα είναι συμμετρικά:

$\begin{array}{cc}f(x_1,x_2)& =x_1{x}_2\\ g(x_1,x_2,x_3)& =x_1^2+x_2^2+x_3^2\\ h(x_1,x_2)& =x_1^2{x}_2+x_1{x}_2^2.\end{array}$

• Τα παρακάτω πολυώνυμα δεν είναι συμμετρικά:

$\begin{array}{cc}f(x_1,x_2,x_3)& =x_1{x}_2\\ g(x_1,x_2,x_3)& =x_1^2{x}_2+x_2^2+x_3^2\\ h(x_1,x_2)& =x_1^2{x}_2+x_1{x}_2^2+x_1.\end{array}$

• Τα στοιχειώδη συμμετρικά πολυώνυμα σε $n$ μεταβλητές ορίζονται ως εξής:

$\begin{array}{cc}{f}_1(x_1,\dots ,x_n)& =x_1+\dots +x_n\\ f_2(x_1,\dots ,x_n)& =(x_1{x}_2+\dots +x_1{x}_n)+(x_2{x}_3+\dots +x_2{x}_n)+\dots +x_{n-1}{x}_n\\ & ⋮\\ f_n(x_1,\dots ,x_n)& =x_1\cdot \dots \cdot x_n.\end{array}$

Από τους τύπους Βιετά, αυτά τα πολυώνυμα εμφανίζονται ως συντελεστές του πολυωνύμου

$f(x)=(x-r_1)\cdot \dots \cdot (x-r_n)=x^n-f_1(r_1,\dots ,r_n)\cdot x^{n-1}+f_2(r_1,\dots ,r_n)\cdot x^{n-2}-\dots +(-1{)}^n{f}_n(r_1,\dots ,r_n)$.

Δείτε επίσης

• Τύποι του Βιετά