Συμπλήρωμα (θεωρία συνόλων)

Αρχείο:Absolute difference set gr.svg

Διάγραμμα Βενν για το απόλυτο συμπλήρωμα συνόλου.

Διάγραμμα Βενν για το σχετικό συμπλήρωμα συνόλου $Y$ από το $X$.

Στην θεωρία συνόλων, το συμπλήρωμα ενός συνόλου $A$ είναι το σύνολο που περιέχει όλα τα στοιχεία που δεν ανήκουν στο $A$, και συμβολίζεται ως $A^c$ ή $A^{\prime }$.Πρότυπο:Rp

Όταν το υπερσύνολο όλων των στοιχείων $\mathrm{\Omega }$ είναι ξεκάθαρο από τα συμφραζώμενα, τότε το απόλυτο συμπλήρωμα του $A$ είναι όλα τα στοιχεία του $\mathrm{\Omega }$ που δεν ανήκουν στο $A$.

Το σχετικό συμπλήρωμα (ή διαφορά) του $A$ και του $B$ είναι το σύνολο που περιέχει όλα τα στοιχεία του $A$ που δεν ανήκουν στο $B$ και συμβολίζεται ως $A\setminus B$ (ή $A-B$).

Παραδείγματα

• Το απόλυτο συμπλήρωμα των φυσικών αριθμών $\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots \}$ είναι $\{-1,-2,-3,\dots \}$ (όταν το $\mathrm{\Omega }=\mathbb{Z}=\{\dots ,-1,0,+1,\dots \}$), ενώ περιέχει επιπλέον στοιχεία όπως $1.2,\pi ,31.5,\dots$ όταν $\mathrm{\Omega }=ℝ$.
• Η διαφορά των συνόλων $A=\{2,3,7,9,10,11\}$ και $B=\{3,4,7,9,11\}$ είναι το σύνολο $A\setminus B=\{2,10\}$.
• Έστω $A$ το σύνολο των γυναικών στην Ελλάδα και $B$ το σύνολο όλων των ανθρώπων κάτω των 65. Τότε η διαφορά των $A$ και $B$ είναι οι ηλικιωμένες γυναίκες στην Ελλάδα.

Απόλυτο συμπλήρωμα

Το απόλυτο συμπλήρωμα του $A$ είναι το σύνολο

$A^c=\{x\in \mathrm{\Omega }:x\notin A\}$.

Ιδιότητες

Για κάθε σύνολο $A$ και $B$ ισχύει ότι:

• $A\cup A^c=\mathrm{\Omega }$.
• $A\cap A^c=\varnothing$.
• $(A^c{)}^c=A$.
• $A\subseteq B$ ανν $B^c\subseteq A^c$.
• $(A\cap B{)}^c=A^c\cup B^c$ (Τύποι Ντε Μόργκαν).
• $(A\cup B{)}^c=A^c\cap B^c$ (Τύποι Ντε Μόργκαν)
• $(A\times B{)}^c=(A^c\times B^c)\cup (A^c\times B)\cup (A\times B^c)$.

Σχετικό συμπλήρωμα (ή διαφορά συνόλων)

Το σχετικό συμπλήρωμα (ή διαφορά) του $A$ και του $B$ είναι το σύνολο που περιέχει όλα τα στοιχεία του $A$ που δεν ανήκουν στο $B$, δηλαδή το σύνολο

$A\setminus B=\{x\in A:x\notin B\}$.

Επομένως το απόλυτο συμπλήρωμα $A^c=\mathrm{\Omega }\setminus A$ και η διαφορά $A\setminus B=A\cap B^c$.

Ιδιότητες

Για κάθε σύνολο $A,B,C,D$ ισχύει ότι:

• $A\setminus A=\varnothing$.
• $A\setminus \varnothing =A$.
• $\varnothing \setminus A=\varnothing$.
• $A\setminus B=(A\cup B)\setminus B=A\setminus (A\cap B)$.
• $(A\setminus B)\cap B=\varnothing$.
• $A\subseteq B$ ανν $A\setminus B=\mathrm{\varnothing }$.
• $(A\setminus B)\times C=(A\times C)\setminus (B\times C)$ (επιμεριστική ιδιότητα).
• $(A\setminus B)\times (C\setminus D)=(A\times C)\cap (B^c\times D^c)$.
• $(C\times D)\setminus (A\times B)=((C-A)\times D)\cup (C\times (D-B))$.

Δείτε επίσης

• Ένωση συνόλων
• Τομή συνόλων
• Παράδοξο Russell