Συνάρτηση ήτα του Ντέντεκιντ

Ντέντεκιντ Πρότυπο:Mvar-συνάρτηση στο άνω ημιεπίπεδο

Στα μαθηματικά, η Συνάρτηση ήτα του Ντέντεκιντ, που πήρε το όνομά της από τον Ρίχαρντ Ντέντεκιντ, είναι μια δομοστοιχειωτή μορφή βάρους 1/2 και αποτελεί μια συνάρτηση που ορίζεται στο άνω ημιεπίπεδο των μιγαδικών αριθμών, όπου το φανταστικό μέρος είναι θετικό. Εμφανίζεται επίσης στη μποζονική θεωρία χορδών.

Ορισμοί

Για κάθε μιγαδικό αριθμό Πρότυπο:Mvar με Πρότυπο:Math, έστω Πρότυπο:Math; τότε η συνάρτηση ήτα ορίζεται από,

$\eta (\tau )=e^{\frac{\pi i\tau }{12}}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-e^{2n\pi i\tau })=q^{\frac{1}{24}}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-q^n).$

Ανυψώνοντας την εξίσωση ήτα στην 24th δύναμη και πολλαπλασιάζοντας με Πρότυπο:Math προκύπτει

$\mathrm{\Delta }(\tau )=(2\pi {)}^{12}{\eta }^{24}(\tau )$

όπου Πρότυπο:Math είναι η σπονδυλωτή διακριτική ικανότητα. Η παρουσία του 24 μπορεί να γίνει κατανοητή σε σχέση με άλλες εμφανίσεις, όπως στο 24-διάστατο πλέγμα Leech.

Η συνάρτηση ήτα είναι ολόμορφη στο άνω ημιεπίπεδο αλλά δεν μπορεί να συνεχιστεί αναλυτικά πέρα από αυτό.

Συντελεστής του Όιλερ phi στον μοναδιαίο δίσκο, χρωματισμένος έτσι ώστε μαύρο = 0, κόκκινο = 4

Το πραγματικό μέρος της σπονδυλωτής διακριτικής ικανότητας ως συνάρτηση του Πρότυπο:Mvar..

Η συνάρτηση ήτα ικανοποιεί τις συναρτησιακές εξισώσεις.

$\begin{array}{cc}\eta (\tau +1)& =e^{\frac{\pi i}{12}}\eta (\tau ),\\ \eta (-\frac{1}{\tau })& =\sqrt{-i\tau }\eta (\tau ).\end{array}$

Στη δεύτερη εξίσωση το κλαδί της τετραγωνικής ρίζας επιλέγεται έτσι ώστε Πρότυπο:Math when Πρότυπο:Math.

Γενικότερα, έστω ότι Πρότυπο:Math είναι ακέραιοι αριθμοί με Πρότυπο:Math, έτσι ώστε

$\tau \mapsto \frac{a\tau +b}{c\tau +d}$

είναι ένας μετασχηματισμός που ανήκει στη σπονδυλωτή ομάδα. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι είτε Πρότυπο:Math, είτε Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math. Τότε

$\eta \left(\frac{a\tau +b}{c\tau +d}\right)=ϵ(a,b,c,d){(c\tau +d)}^{\frac{1}{2}}\eta (\tau ),$

όπου

$ϵ(a,b,c,d)=\{\begin{array}{cc}{e}^{\frac{bi\pi }{12}}& c=0,d=1,\\ e^{i\pi (\frac{a+d}{12c}-s(d,c)-\frac{1}{4})}& c>0.\end{array}$

Επομένως Πρότυπο:Math είναι το άθροισμα του Ντέντεκιντ

$s(h,k)=\sum _{n=1}^{k-1}\frac{n}{k}(\frac{hn}{k}-\lfloor \frac{hn}{k}\rfloor -\frac{1}{2}).$

Λόγω αυτών των λειτουργικών εξισώσεων η συνάρτηση ήτα είναι μια σπονδυλωτή μορφή βάρους Πρότυπο:Sfrac και επιπέδου 1 για έναν συγκεκριμένο χαρακτήρα τάξης 24 του μεταπλεκτικού διπλού καλύμματος της σπονδυλωτής ομάδας και μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον ορισμό άλλων σπονδυλωτών μορφών. Συγκεκριμένα η σπονδυλωτή διακριτική ικανότητα του Βάιερστρας μπορεί να οριστεί ως ακολούθως

$\mathrm{\Delta }(\tau )=(2\pi {)}^{12}\eta (\tau {)}^{24}$

και είναι μια σπονδυλωτή μορφή βάρους 12. Ορισμένοι συγγραφείς παραλείπουν τον παράγοντα Πρότυπο:Math, έτσι ώστε το ανάπτυγμα της σειράς να έχει ακέραιους συντελεστές.

Το τριπλό γινόμενο Γιακόμπι συνεπάγεται ότι το ήτα είναι (μέχρι έναν παράγοντα) μια συνάρτηση θήτα Γιακόμπι (Jacobi) για ειδικές αξίες των επιχειρημάτων:

$\eta (\tau )=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\chi (n)\exp \left(\frac{\pi i{n}^2\tau }{12}\right),$

όπου Πρότυπο:Math είναι "ο" χαρακτήρας Ντίρικλετ modulo 12 με Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math. Αναλυτικά,

$\eta (\tau )=e^{\frac{\pi i\tau }{12}}\vartheta (\frac{\tau +1}{2};3\tau ).$

Η συνάρτηση Όιλερ

$\begin{array}{cc}\varphi (q)& =\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-q^n)\\ & =q^{-\frac{1}{24}}\eta (\tau ),\end{array}$

διαθέτει μια δυναμοσειρά μέσω της ταυτότητας του Όιλερ:

$\varphi (q)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{q}^{\frac{3n^2-n}{2}}.$

Επειδή η συνάρτηση ήτα είναι εύκολο να υπολογιστεί αριθμητικά από οποιαδήποτε δυναμοσειρά, είναι συχνά χρήσιμο στους υπολογισμούς να εκφράζονται άλλες συναρτήσεις ως προς αυτήν, όταν είναι δυνατόν, και τα γινόμενα και τα πηλίκα των συναρτήσεων ήτα, που ονομάζονται πηλίκα ήτα, μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να εκφράσουν μια μεγάλη ποικιλία σπονδυλωτών μορφών.

Η εικόνα σε αυτή τη σελίδα δείχνει το modulus της συνάρτησης Όιλερ: ο πρόσθετος παράγοντας Πρότυπο:Math μεταξύ αυτής και της ήτα δεν κάνει σχεδόν καμία οπτική διαφορά. Έτσι, η εικόνα αυτή μπορεί να θεωρηθεί ως εικόνα του eta ως συνάρτηση του Πρότυπο:Mvar.

Συνδυαστικές ταυτότητες

Η θεωρία των αλγεβρικών χαρακτήρων των affine άλγεβρων Lie οδηγεί σε μια μεγάλη κατηγορία άγνωστων έως σήμερα ταυτοτήτων για τη συνάρτηση ήτα. Οι ταυτότητες αυτές προκύπτουν από τον τύπο χαρακτήρων Weyl-Kac και πιο συγκεκριμένα από τις λεγόμενες "ταυτότητες του παρονομαστή". Οι ίδιοι οι χαρακτήρες μας επιτρέπουν να κατασκευάσουμε γενικεύσεις της συνάρτησης θήτα του Γιακόμπι (Jacobi) που μετασχηματίζονται κάτω από τη σπονδυλωτή ομάδα- αυτό είναι που οδηγεί στις ταυτότητες. Ένα παράδειγμα μιας από αυτές τις νέες ταυτότητες έχει ως εξής

$\eta (8\tau )\eta (16\tau )=\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{m,n\in \mathbb{Z}}{m\le |3n|}}(-1{)}^m{q}^{(2m+1{)}^2-32n^2}$

όπου Πρότυπο:Math είναι το Πρότυπο:Mvar-ανάλογο ή η "παραμόρφωση" του υψηλότερου βάρους μιας ενότητας.

Ειδικές τιμές

Από την παραπάνω σχέση με τη συνάρτηση Όιλερ και τις ειδικές τιμές της, μπορούμε εύκολα να συμπεράνουμε ότι

$\begin{array}{cc}\eta (i)& =\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{4}\right)}{2{\pi }^{\frac{3}{4}}}\\ \eta \left(\frac{1}{2}i\right)& =\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{4}\right)}{2^{\frac{7}{8}}{\pi }^{\frac{3}{4}}}\\ \eta (2i)& =\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{4}\right)}{2^{\frac{11}{8}}{\pi }^{\frac{3}{4}}}\\ \eta (3i)& =\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{4}\right)}{2\sqrt[3]{3}{(3+2\sqrt{3})}^{\frac{1}{12}}{\pi }^{\frac{3}{4}}}\\ \eta (4i)& =\frac{\sqrt[4]{-1+\sqrt{2}}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{4}\right)}{2^{\frac{29}{16}}{\pi }^{\frac{3}{4}}}\\ \eta \left(e^{\frac{2\pi i}{3}}\right)& =e^{-\frac{\pi i}{24}}\frac{\sqrt[8]{3}\mathrm{\Gamma }{\left(\frac{1}{3}\right)}^{\frac{3}{2}}}{2\pi }\end{array}$

Πηλίκα Ήτα

Τα πηλίκα Ήτα ορίζονται από πηλίκα της μορφής

$\prod _{0<d\mid N}\eta (d\tau {)}^{r_d}$

όπου Πρότυπο:Mvar είναι ένας μη αρνητικός ακέραιος αριθμός και Πρότυπο:Mvar είναι οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός. Οι γραμμικοί συνδυασμοί των πηλίκων ήτα σε φανταστικά τετραγωνικά ορίσματα μπορεί να είναι αλγεβρικοί, ενώ οι συνδυασμοί των πηλίκων ήτα μπορεί να είναι ακόμη και ολοκληρωτικοί. Παραδείγματος χάριν.

$\begin{array}{cc}j(\tau )& ={({\left(\frac{\eta (\tau )}{\eta (2\tau )}\right)}^8+2^8{\left(\frac{\eta (2\tau )}{\eta (\tau )}\right)}^{16})}^3\\ j_{2A}(\tau )& ={({\left(\frac{\eta (\tau )}{\eta (2\tau )}\right)}^{12}+2^6{\left(\frac{\eta (2\tau )}{\eta (\tau )}\right)}^{12})}^2\\ j_{3A}(\tau )& ={({\left(\frac{\eta (\tau )}{\eta (3\tau )}\right)}^6+3^3{\left(\frac{\eta (3\tau )}{\eta (\tau )}\right)}^6)}^2\\ j_{4A}(\tau )& ={({\left(\frac{\eta (\tau )}{\eta (4\tau )}\right)}^4+4^2{\left(\frac{\eta (4\tau )}{\eta (\tau )}\right)}^4)}^2={\left(\frac{{\eta }^2(2\tau )}{\eta (\tau )\eta (4\tau )}\right)}^{24}\end{array}$

με την 24th δύναμη της σπονδυλωτής συνάρτησης Βέμπερ Πρότυπο:Math}. Τότε,

$\begin{array}{cccc}j\left(\frac{1+\sqrt{-163}}{2}\right)& =-640320^3,& e^{\pi \sqrt{163}}& \approx 640320^3+743.99999999999925\dots \\ j_{2A}\left(\frac{\sqrt{-58}}{2}\right)& =396^4,& e^{\pi \sqrt{58}}& \approx 396^4-104.00000017\dots \\ j_{3A}\left(\frac{1+\sqrt{-\frac{89}{3}}}{2}\right)& =-300^3,& e^{\pi \sqrt{\frac{89}{3}}}& \approx 300^3+41.999971\dots \\ j_{4A}\left(\frac{\sqrt{-7}}{2}\right)& =2^{12},& e^{\pi \sqrt{7}}& \approx 2^{12}-24.06\dots \end{array}$

και ούτω καθεξής, τιμές που εμφανίζονται στη σειρά Ραμανουτζάν-Σάτο.

Τα πηλίκα Ήτα μπορούν επίσης να αποτελέσουν ένα χρήσιμο εργαλείο για την περιγραφή των βάσεων των σπονδυλωτών μορφών, οι οποίες είναι γνωστό ότι είναι δύσκολο να υπολογιστούν και να εκφραστούν άμεσα. Το 1993 οι Βασίλ Γκόρντον και Κιμ Χιουζ απέδειξαν ότι αν ένα πηλίκο ήτα Πρότυπο:Mvar της παραπάνω μορφής, δηλαδή $\prod _{0<d\mid N}\eta (d\tau {)}^{r_d}$ ικανοποιεί

$\sum _{0<d\mid N}d{r}_d\equiv 0(\mathrm{mod}24)\text{and}\sum _{0<d\mid N}\frac{N}{d}{r}_d\equiv 0(\mathrm{mod}24),$

τότε Πρότυπο:Mvar είναι μια σπονδυλωτή μορφή βάρους Πρότυπο:Mvar για την υποομάδα συνάφειας Πρότυπο:Math (μέχρι την ολομορφία) όπου

$k=\frac{1}{2}\sum _{0<d\mid N}{r}_d.$

Αυτό το αποτέλεσμα επεκτάθηκε το 2019 έτσι ώστε να ισχύει το αντίστροφο για τις περιπτώσεις που Πρότυπο:Mvar είναι συναριθμητικό του 6, και παραμένει ανοιχτό ότι το αρχικό θεώρημα είναι απότομο για όλους τους ακέραιους Πρότυπο:Mvar. Αυτό επεκτείνεται επίσης για να δηλώσει ότι οποιοδήποτε σπονδυλωτό ήτα πηλίκο για οποιαδήποτε υποομάδα σύμπτωσης επιπέδου Πρότυπο:Mvar πρέπει επίσης να είναι μια σπονδυλωτή μορφή για την ομάδα Πρότυπο:Math. Ενώ αυτά τα θεωρήματα χαρακτηρίζουν τα modular ήτα πηλίκα, η συνθήκη της ολομορφικότητας πρέπει να ελεγχθεί ξεχωριστά χρησιμοποιώντας ένα θεώρημα που προέκυψε από την εργασία του Ζεράρ Λιγκοζάτ και του Ιβ Μαρτίν:

Αν το Πρότυπο:Mvar είναι ένα πηλίκο ήτα που ικανοποιεί τις παραπάνω συνθήκες για τον ακέραιο Πρότυπο:Mvar και τα Πρότυπο:Mvar και Πρότυπο:Mvar είναι συναριθμητικοί ακέραιοι, τότε η σειρά εξαφάνισης στην κορυφή Πρότυπο:Math σε σχέση με το Πρότυπο:Math είναι

$\frac{N}{24}\sum _{0<\delta |N}\frac{\gcd {(d,\delta )}^2{r}_{\delta }}{\gcd (d,\frac{N}{\delta })d\delta }.$

Αυτά τα θεωρήματα παρέχουν ένα αποτελεσματικό τρόπο δημιουργίας ολόμορφων σπονδυλωτών πηλίκων ήτα, ωστόσο αυτό μπορεί να μην επαρκεί για την κατασκευή μιας βάσης για έναν διανυσματικό χώρο σπονδυλωτών μορφών και μορφών cusp. Ένα χρήσιμο θεώρημα για τον περιορισμό του αριθμού των σπονδυλωτών πηλίκων ήτα που πρέπει να εξεταστούν δηλώνει ότι ένα ολομορφικό σπονδυλωτό πηλίκο ήτα βάρους Πρότυπο:Mvar στο Πρότυπο:Math πρέπει να ικανοποιεί τις ακόλουθες συνθήκες.

$\sum _{0<d\mid N}|r_d|\le \prod _{p\mid N}{\left(\frac{p+1}{p-1}\right)}^{\min (2,{\text{ord}}_p(N))},$

όπου Πρότυπο:Math υποδηλώνει τον μεγαλύτερο ακέραιο Πρότυπο:Mvar τέτοιο ώστε pm να διαιρεί το Πρότυπο:Mvar να διαιρεί το Πρότυπο:Mvar.. Αυτά τα αποτελέσματα οδηγούν σε διάφορους χαρακτηρισμούς των χώρων των σπονδυλωτών μορφών που μπορούν να καλυφθούν από σπονδυλωτά πηλίκα ήτα. Χρησιμοποιώντας τη δομή βαθμωτού δακτυλίου στο δακτύλιο των σπονδυλωτών μορφών, μπορούμε να υπολογίσουμε βάσεις διανυσματικών χώρων σπονδυλωτών μορφών που αποτελούνται από Πρότυπο:Math-γραμμικούς συνδυασμούς των πηλίκων ήτα. Παραδείγματος χάριν, αν υποθέσουμε ότι το Πρότυπο:Math είναι ένας ημίπριμος τότε η ακόλουθη διαδικασία μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό μιας βάσης ε-ποσοστού του [[Δομοστοιχειωτή μορφή|Πρότυπο:Math]].

Μια συλλογή από πάνω από 6300 ταυτότητες προϊόντων για τη συνάρτηση Ντέντεκιντ Ήτα σε κανονική, τυποποιημένη μορφή είναι διαθέσιμη στο Wayback machine του δικτυακού τόπου του Μιχαήλ Σόμου.

Βιβλιογραφία

• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Dedekind Eta Function
• Dedekind’s Eta Function and Modular Forms
• Proof of the transformation formula of the Dedekind eta function..
• Dedekind eta function
• Dedekind eta function, Kronecker limit formula
• Values of the Dedekind Eta Function at Quadratic Irrationalities

Δείτε επίσης

• Αλγόριθμος διαμαντιού τετραγώνου
• Καμπύλη που γεμίζει το χώρο
• Νιφάδα του Κοχ
• Καμπύλη Χίλμπερτ
• Καμπύλη του δράκου
• Σπόγγος του Μένγκερ

• Σύνολο Μάντελμπροτ
• Σύνολο Julia
• Οικοδομήσιμο Σύμπαν