Συνάρτηση ζήτα πρώτων αριθμών

Σχεδιάγραμμα της συνάρτησης ζήτα πρώτων αριθμών

Η συνάρτηση ζήτα πρώτων αριθμών σχετίζεται με την συνάρτηση ζήτα Ρήμαν και το θεώρημα πρώτων αριθμών ως προς την κατανομή τους, και διατυπώθηκε για πρώτη φορά το 1891 (Πρότυπο:Harvtxt.

Ιδιότητες

Ορίζεται ως άπειρα σειρά η οποία συγκλίνει για $\mathrm{\Re }(s)>1$:

$P(s)=\sum _{p\in \mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}}\frac{1}{p^s}=\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{5^s}+\frac{1}{7^s}+\frac{1}{11^s}+\cdots .$

Κατά το γινόμενο Όιλερ για την συνάρτηση ζήτα Ρήμαν ζ(s):

$\log \zeta (s)=\sum _{n>0}\frac{P(ns)}{n}$

όπου κατά τον τύπο αντιστροφής του Μέμπιους:

$P(s)=\sum _{n>0}\mu (n)\frac{\log \zeta (ns)}{n}$

όταν το s φτάνει στο 1, τότε ισχύει το $P(s)\sim \log \zeta (s)\sim \log \left(\frac{1}{s-1}\right)$, κάτι που χρησιμοποιείται στον ορισμό της πυκνότητας Ντίριλεχτ.

Αυτό δίνει την συνέχιση του P(s) προς $\mathrm{\Re }(s)>0$, με άπειρο αριθμό λογαριθμικών μοναδικοτήτων στα σημεία s όπου το ns είναι πόλος (μόνο όταν ns = 1 όταν n δεν είναι τετράγωνο μεγαλύτερο ή ίσο από το 1), ή μηδέν της συνάρτησης ζήτα Ρήμαν ζ(.). Η γραμμή $\mathrm{\Re }(s)=0$ είναι φυσικό όριο καθώς οι μοναδικότητες συγκεντρώνονται κοντά σε όλα τα σημεία της γραμμής αυτής.

Αν η ακολουθία οριστεί ως:

$a_n=\prod _{p^k\mid n}\frac{1}{k}=\prod _{p^k\mid \mid n}\frac{1}{k!}$

τότε:

$P(s)=\log \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{n^s}.$

Η συνάρτηση ζήτα πρώτων αριθμών σχετίζεται με την σταθερά του Αρτίν μέσω:

$\ln C_{\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{n}}=-\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{(L_n-1)P(n)}{n}$

όπου L_n είναι ο νιοστός αριθμός Λούκας.

Συγκεκριμένες τιμές είναι:

s	κατά προσέγγιση τιμή P(s)	OEIS
1	$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{11}+\cdots \to \mathrm{\infty }.$
2	$0.45224742004106549850\dots$	Πρότυπο:OEIS2C
3	$0.17476263929944353642\dots$	Πρότυπο:OEIS2C
4	$0.07699313976424684494\dots$	Πρότυπο:OEIS2C
5	$0.03575501748392425713\dots$	Πρότυπο:OEIS2C
9	$0.00200446757496245066\dots$	Πρότυπο:OEIS2C

Ανάλυση

Ολοκληρώματα

Το ολοκλήρωμα επί της συνάρτησης ζήτα πρώτων αριθμών βρίσκεται συνήθως στο άπειρο, καθώς ο πόλος στο $s=1$ εμποδίζει τον ορισμό χαμηλότερων ορίων σε κάποιον πεπερασμένο ακέραιο:

$\underset{s}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}P(t)dt=\sum _p\frac{1}{p^s\log p}$

Οι αξιοσημείωτες τιμές είναι αυτές όπου τα σύνολα συγκλίνουν αργά:

s	κατά προσέγγιση τιμή $\sum _{p}1/(p^s\log p)$	OEIS
1	$1.63661632\dots$	Πρότυπο:OEIS2C
2	$0.50778218\dots$	Πρότυπο:OEIS2C
3	$0.22120334\dots$
4	$0.10266547\dots$

Παράγωγα

Το πρώτο παράγωγο είναι:

$P^{\prime }(s)\equiv \frac{d}{ds}P(s)=-\sum _p\frac{\log p}{p^s}$

Οι αξιοσημείωτες τιμές είναι αυτές όπου τα σύνολα συγκλίνουν αργά:

s	κατά προσέγγιση τιμή $P^{\prime }(s)$	OEIS
2	$-0.493091109\dots$	Πρότυπο:OEIS2C
3	$-0.150757555\dots$
4	$-0.060607633\dots$
5	$-0.026838601\dots$

Γενικεύσεις

Σχεδόν συναρτήσεις ζήτα πρώτων αριθμών

Καθώς η συνάρτηση ζήτα Ρήμαν είναι το άθροισμα αντιστρόφων δυνάμεων επί των ακεραίων, και η συνάρτηση ζήτα πρώτων αριθμών το άθροισμα των αντιστρόφων δυνάμεων των πρώτων αριθμών, οι k-πρώτοι αριθμοί (οι ακέραιοι που είναι γινόμενο του $k$) φέρνουν κάποια ενδιάμεσα αθροίσματα:

$P_k(s)\equiv \sum _{n:\mathrm{\Omega }(n)=k}\frac{1}{n^s}$

όπου το $\mathrm{\Omega }$ είναι ο συνολικός αριθμός των παραγόντων οι οποίοι είναι πρώτοι αριθμοί:

k	s	κατά προσέγγιση τιμή $P_k(s)$	OEIS
2	2	$0.14076043434\dots$	Πρότυπο:OEIS2C
2	3	$0.02380603347\dots$
3	2	$0.03851619298\dots$	Πρότυπο:OEIS2C
3	3	$0.00304936208\dots$

Ο κάθε ακέραιος στον παρονομαστή της συνάρτησης ζήτα Ρήμαν $\zeta$ μπορεί να ταξινομηθεί από την τιμή του δείκτη $k$, ο οποίος διασπά την συνάρτηση ζήτα Ρήμαν σε ένα άπειρο άθροισμα του $P_k$:

$\zeta (s)=1+\sum _{k=1,2,\dots }{P}_k(s)$

Συναρτήσεις ζήτα ισοϋπολοίπου πρώτων αριθμών

Η κατασκευή του αθροίσματος όχι μεταξύ όλων των πρώτων αριθμών αλλά μόνο μεταξύ των αριθμών οι οποίοι ανήκουν στην ίδια τάξη ισοποϋπολοίπων, εισάγει νέου τύπους απείρων σειρών οι οποίες αποτελούν αναγωγή της συνάρτησης L Ντίριλεχτ.

Σχετική βιβλιογραφία

• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite arXiv
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite arXiv

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Πρότυπο:MathWorld