Συνάρτηση του Ντίριχλετ

Στα μαθηματικά, η συνάρτηση του Ντίριχλετ είναι η χαρακτηριστική συνάρτηση του συνόλου των ρητών αριθμών $\mathbb{Q}$, δηλ. ${\mathrm{𝟏}}_{\mathbb{Q}}(x)=1$ αν το Πρότυπο:Mvar είναι ρητός αριθμός και ${\mathrm{𝟏}}_{\mathbb{Q}}(x)=0$ αν το Πρότυπο:Mvar δεν είναι ρητός αριθμός (δηλαδή είναι άρρητος αριθμός):$${\mathrm{𝟏}}_{\mathbb{Q}}(x)=\{\begin{array}{cc}1& x\in \mathbb{Q}\\ 0& x\notin \mathbb{Q}\end{array}$$

Πήρε το όνομά της από τον μαθηματικό Πέτερ Γκούσταφ Λεζέν Ντίριχλετ.

Περιοδικότητα

Για κάθε πραγματικό αριθμό Πρότυπο:Mvar και κάθε θετικό ρητό αριθμό Πρότυπο:Mvar, ${\mathrm{𝟏}}_{\mathbb{Q}}(x+T)={\mathrm{𝟏}}_{\mathbb{Q}}(x)$. Η συνάρτηση του Ντίριχλετ είναι επομένως ένα παράδειγμα μιας πραγματικής περιοδικής συνάρτησης που δεν είναι σταθερή, αλλά της οποίας το σύνολο των περιόδων, που είναι το σύνολο των ρητών αριθμών, είναι ένα πυκνό υποσύνολο του $ℝ$.