Ταυτότητα Κασίνι

Στα μαθηματικά, η ταυτότητα Κασίνι λέει ότι για τον $n$-οστό αριθμό Φιμπονάτσι $F_n$ ισχύει ότι

$F_{n-1}\cdot F_{n+1}-F_n^2=(-1{)}^n$.

Η ταυτότητα παίρνει το όνομά της από τον Τζοβάνι Ντομένικο Κασίνι.

Παραδείγματα

Μπορούμε να επιβεβαιώσουμε την ταυτότητα για τους πρώτους αριθμούς Φιμπονάτσι:

• Για $n=1$, $F_0\cdot F_2-F_1^2=0\cdot 1-1^2=-1=(-1{)}^1$.
• Για $n=2$, $F_1\cdot F_3-F_2^2=1\cdot 2-1^2=+1=(-1{)}^2$.
• Για $n=3$, $F_2\cdot F_4-F_3^2=1\cdot 3-2^2=-1=(-1{)}^3$.
• Για $n=4$, $F_3\cdot F_5-F_4^2=2\cdot 5-3^2=+1=(-1{)}^4$.
• Για $n=5$, $F_4\cdot F_6-F_5^2=3\cdot 8-5^2=-1=(-1{)}^5$.

Αποδείξεις

Με χρήση πινάκων

Για κάθε $n\in {\mathbb{N}}_{+}$ οι αριθμοί Φιμπονάτσι ικανοποιούν την παρακάτω ισότητα πινάκων:

$\left[\begin{array}{cc}{F}_{n+1}& F_n\\ F_n& F_{n-1}\end{array}\right]={\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]}^n.$

Παίρνοντας την ορίζουσα και στα δύο μέλη, από τις ιδιότητες της ορίζουσας έχουμε ότι

$\det \left[\begin{array}{cc}{F}_{n+1}& F_n\\ F_n& F_{n-1}\end{array}\right]=\det {\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]}^n={(\det \left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right])}^n=(-1{)}^n.$

Επομένως,

$F_{n-1}\cdot F_{n+1}-F_n^2=(-1{)}^n$.

Με μαθηματική επαγωγή

Θα χρησιμοποιήσουμε την μαθηματική επαγωγή για να αποδείξουμε ότι:

$F_{n-1}\cdot F_{n+1}-F_n^2=(-1{)}^n$.

Βάση: Για $n=1$, έχουμε ότι

$F_0\cdot F_2-F_1^2=0\cdot 1-1^2=-1=(-1{)}^1=(-1{)}^n$.

Επαγωγικό βήμα: Ας υποθέσουμε ότι η σχέση ισχύει για $n=k$, τότε

$F_{k-1}\cdot F_{k+1}-F_k^2=(-1{)}^k$.

Από την αναδρομική σχέση των αριθμών Φιμπονάτσι έχουμε ότι

$F_{k+1}=F_{k-1}+F_k$.

Αντικαθιστώντας στην πρώτη σχέση, λαμβάνουμε ότι

$\begin{array}{cc}& (F_{k+1}-F_k)\cdot F_{k+1}-F_k^2=(-1{)}^k\Rightarrow \\ & F_{k+1}^2-F_k\cdot F_{k+1}-F_k^2=(-1{)}^k\Rightarrow \\ & F_{k+1}^2-F_k\cdot (F_{k+1}+F_k)=(-1{)}^k\Rightarrow \\ & F_{k+1}^2-F_k\cdot F_{k+2}=(-1{)}^k\Rightarrow \\ & F_k\cdot F_{k+2}-F_{k+1}^2=(-1{)}^{k+1},\end{array}$

που ολοκληρώνει την απόδειξη.

Γενικεύσεις

Η ταυτότητα Catalan είναι μία γενίκευση της ταυτότητας Κασίνι όπου για κάθε $n,r\in {\mathbb{N}}_{+}$ με $n\ge r$ έχουμε ότι

$F_n^2-F_{n-r}{F}_{n+r}=(-1{)}^{n-r}{F}_r^2.$

Η ταυτότητα Vajda γενικεύει ακόμα περισσότερο αυτήν την ταυτότητα δίνοντας ότι για κάθε $n,i,j\in {\mathbb{N}}_{+}$ ισχύει ότι

$F_{n+i}{F}_{n+j}-F_n{F}_{n+i+j}=(-1{)}^n{F}_i{F}_j.$

Δείτε επίσης

• Ακολουθία Φιμπονάτσι