Τετράπλευρο Λάμπερτ

Ένα τετράπλευρο Λάμπερτ

Στη γεωμετρία, το τετράπλευρο Λάμπερτ είναι ένα τετράπλευρο στο οποίο τρεις από τις γωνίες του είναι ορθές. Ιστορικά, η τέταρτη γωνία ενός τετραπλεύρου Λάμπερτ είχε σημαντικό ενδιαφέρον, καθώς εάν μπορούσε να δειχθεί ότι είναι ορθή γωνία, τότε το αξίωμα των παραλλήλων θα μπορούσε να αποδειχθεί ως θεώρημα. Είναι πλέον γνωστό ότι η τέταρτη γωνία εξαρτάται από τη γεωμετρία στην οποία υπάρχει το τετράπλευρο. Στην υπερβολική γεωμετρία η τέταρτη γωνία είναι οξεία, στην Ευκλείδεια γεωμετρία είναι ορθή και στην ελλειπτική γεωμετρία είναι αμβλεία.

Ένα τετράπλευρο Λάμπερτ μπορεί να κατασκευαστεί από ένα τετράπλευρο Σακέρι, ενώνοντας τα μέσα της βάσης και της κορυφής του τετραπλεύρου Σακέρι. Αυτό το ευθύγραμμο τμήμα είναι κάθετο τόσο στη βάση όσο και στην κορυφή και έτσι το κάθε μισό του τετραπλεύρου Σακέρι είναι ένα τετράπλευρο Λάμπερτ.

Το τετράπλευρο Λάμπερτ στην υπερβολική γεωμετρία

Στην υπερβολική γεωμετρία ένα τετράπλευρο Λάμπερτ AOBF, όπου οι γωνίες $\mathrm{\angle }FAO,\mathrm{\angle }AOB$ και $\mathrm{\angle }OBF$ είναι ορθές και το σημείο F είναι απέναντι από το σημείο O, η γωνία $\mathrm{\angle }AFB$ είναι οξεία και η καμπυλότητα ισούται με -1, ισχύουν οι ακόλουθες σχέσεις:

$\cosh OF=\cosh OA\cosh AF$

$\cosh OF=\cosh OB\cosh BF$

$\sin \mathrm{\angle }AFB=\frac{\cosh OB}{\cosh AF}=\frac{\cosh OA}{\cosh BF}$

$\sin \mathrm{\angle }AOF=\frac{\sinh AF}{\sinh OF}$

$\cot \mathrm{\angle }AFB=\tanh OA\sinh AF=\tanh OB\sinh BF$

$\cos \mathrm{\angle }AOF=\frac{\tanh OA}{\tanh OF}$

$\tan \mathrm{\angle }AOF=\frac{\tanh AF}{\sinh OA}$

$\sinh AF=\sinh OB\cosh BF$

$\tanh AF=\cosh OA\tanh OB$

$\sinh BF=\sinh OA\cosh AF$

$\tanh BF=\cosh OB\tanh OA$

Όπου $\tanh ,\cosh$ και $\sinh$ είναι οι υπερβολικές συναρτήσεις.

Δείτε επίσης

• Μη Ευκλείδεια γεωμετρία

Βιβλιογραφικές αναφορές

• George E. Martin, The Foundations of Geometry and the Non-Euclidean Plane, Springer-Verlag, 1975
• MJ Greenberg, Euclidean and Non-Euclidean Geometries: Development and History, 4η έκδοση, WH Freeman, 2008.