Τετραγωνικά ολοκληρώσιμη συνάρτηση

Πρότυπο:Χωρίς παραπομπές Στα μαθηματικά, μία τετραγωνικά ολοκληρώσιμη συνάρτηση είναι μία πραγματικά - ή κατά τμήματα - αποτιμημένη ως μετρήσιμη συνάρτηση για την οποία το ολοκλήρωμα του τετραγώνου της απόλυτης τιμής της είναι πεπερασμένος αριθμός. Έτσι αν,

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|f(x){|}^{2}dx<\mathrm{\infty },$

τότε η ƒ είναι τετραγωνικά ολοκληρώσιμη στην πραγματική γραμμή  (−∞, ∞). Κάποιος μπορεί επίσης να μιλήσει για τετραγωνική ολοκλήρωση σε ορισμένα σύνολα όπως το  [0, 1]. Οι τετραγωνικά ολοκληρώσιμες συναρτήσεις διαμορφώνουν έναν χώρο εσωτερικού γινομένου του οποίου το εσωτερικό γινόμενο δίνεται από

$⟨f,g⟩=\underset{A}{\int }f(x)\overline{g(x)}dx$

όπου,

• g(x) είναι ο συζυγής μιγαδικός του g,
• A είναι ένα σύνολο στο οποίο κάποιος ολοκληρώνει—στο πρώτο παράδειγμα πάνω, A είναι (−∞, ∞); στο δεύτερο, A είναι [0, 1].

Εφόσον |a|² = a a, η τετραγωνική ολοκληρωσιμότητα είναι το ίδιο σαν να λέμε

$⟨f,f⟩<\mathrm{\infty }.$

Μπορεί να αποδειχθεί ότι οι τετραγωνικά ολοκληρώσιμες συναρτήσεις αποτελούν έναν ολόκληρο μετρικό χώρο, τον Μπάναχ χώρο (Banach space). Αφού έχουμε επιπλέον την ιδιότητα του εσωτερικού γινομένου, αυτός ο χώρος είναι συγκεκριμένα ένας χώρος Χίλμπερτ (Hilbert space). Αυτός ο χώρος εσωτερικού γινομένου συμβολίζεται συμβατικά  L². Ο χώρος των τετραγωνικά ολοκληρώσιμων συναρτήσεων είναι ο L^p space όπου p = 2.