Τύποι Mollweide

Τρίγωνο με πλευρές $\alpha ,\beta ,\gamma$ και κορυφές $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{\Gamma }$.

Στην Ευκλείδεια Γεωμετρία, οι τύποι Mollweide σε ένα τρίγωνο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ με πλευρές $\alpha ,\beta ,\gamma$ και κορυφές $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{\Gamma }$, είναι οι εξής σχέσεις

$\frac{\alpha +\beta }{\gamma }\cdot \sin \frac{\mathrm{\Gamma }}{2}=\cos (\frac{1}{2}\cdot (\mathrm{A}-\mathrm{B}))$,

και

$\frac{\alpha -\beta }{\gamma }\cdot \cos \frac{\mathrm{\Gamma }}{2}=\sin (\frac{1}{2}\cdot (\mathrm{A}-\mathrm{B}))$.

Οι τύποι παίρνουν το όνομά τους από τον μαθηματικό Karl Mollweide.

Απόδειξη

Θα χρησιμοποιήσουμε τον νόμο των ημιτόνων που λέει ότι

$\frac{\alpha }{\sin \mathrm{A}}=\frac{\beta }{\sin \mathrm{B}}=\frac{\gamma }{\sin \mathrm{\Gamma }}=d,$

όπου $d$ η διάμετρος του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου. Από εδώ προκύπτει ότι

Πρότυπο:NumBlk

Επίσης θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για το άθροισμα και τη διαφορά ημιτόνων

Πρότυπο:NumBlk

και

Πρότυπο:NumBlk

Ακόμα, θα χρησιμοποιήσουμε ότι

Πρότυπο:NumBlk

Απόδειξη 1ης σχέσης: Χρησιμοποιώντας τις ισότητες (Πρότυπο:EquationNote) έχουμε ότι

$\frac{\alpha +\beta }{\gamma }\cdot \sin \frac{\mathrm{\Gamma }}{2}=\frac{d\sin \mathrm{A}+d\sin \mathrm{B}}{d\sin \mathrm{\Gamma }}\cdot \sin \frac{\mathrm{\Gamma }}{2}=\frac{\sin \mathrm{A}+\sin \mathrm{B}}{\sin \mathrm{\Gamma }}\cdot \sin \frac{\mathrm{\Gamma }}{2}$.

Έπειτα η (Πρότυπο:EquationNote) και η (Πρότυπο:EquationNote) δίνουν ότι

$\frac{\alpha +\beta }{\gamma }\cdot \sin \frac{\mathrm{\Gamma }}{2}=\frac{2\sin (\frac{1}{2}(\mathrm{A}+\mathrm{B}))\cos (\frac{1}{2}(\mathrm{A}-\mathrm{B}))}{2\sin \frac{\mathrm{\Gamma }}{2}\cos \frac{\mathrm{\Gamma }}{2}}\cdot \sin \frac{\mathrm{\Gamma }}{2}=\frac{\sin (\frac{1}{2}(\mathrm{A}+\mathrm{B}))\cos (\frac{1}{2}(\mathrm{A}-\mathrm{B}))}{\cos \frac{\mathrm{\Gamma }}{2}}$.

Αφού οι $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{\Gamma }$ είναι γωνίες ενός τριγώνου ισχύει ότι $\mathrm{\Gamma }=\pi -(\mathrm{A}+\mathrm{B})$. Χρησιμοποιώντας ότι $\cos (\frac{\pi }{2}-\varphi )=\sin \varphi$, καταλήγουμε ότι

$\frac{\alpha +\beta }{\gamma }\cdot \sin \frac{\mathrm{\Gamma }}{2}=\sin (\frac{1}{2}(\mathrm{A}-\mathrm{B}))$.

Απόδειξη 2ης σχέσης: Χρησιμοποιώντας τις ισότητες (Πρότυπο:EquationNote) έχουμε ότι

$\frac{\alpha -\beta }{\gamma }\cdot \cos \frac{\mathrm{\Gamma }}{2}=\frac{d\sin \mathrm{A}-d\sin \mathrm{B}}{d\sin \mathrm{\Gamma }}\cdot \cos \frac{\mathrm{\Gamma }}{2}=\frac{\sin \mathrm{A}-\sin \mathrm{B}}{\sin \mathrm{\Gamma }}\cdot \cos \frac{\mathrm{\Gamma }}{2}$.

Έπειτα η (Πρότυπο:EquationNote) και η (Πρότυπο:EquationNote) δίνουν ότι

$\frac{\alpha -\beta }{\gamma }\cdot \cos \frac{\mathrm{\Gamma }}{2}=\frac{2\sin (\frac{1}{2}(\mathrm{A}-\mathrm{B}))\cos (\frac{1}{2}(\mathrm{A}+\mathrm{B}))}{2\sin \frac{\mathrm{\Gamma }}{2}\cos \frac{\mathrm{\Gamma }}{2}}\cdot \cos \frac{\mathrm{\Gamma }}{2}=\frac{\sin (\frac{1}{2}(\mathrm{A}-\mathrm{B}))\cos (\frac{1}{2}(\mathrm{A}+\mathrm{B}))}{\sin \frac{\mathrm{\Gamma }}{2}}$.

Αφού οι $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{\Gamma }$ είναι γωνίες ενός τριγώνου ισχύει ότι $\mathrm{\Gamma }=\pi -(\mathrm{A}+\mathrm{B})$. Χρησιμοποιώντας ότι $\sin (\frac{\pi }{2}-\varphi )=\cos \varphi$, καταλήγουμε ότι

$\frac{\alpha -\beta }{\gamma }\cdot \cos \frac{\mathrm{\Gamma }}{2}=\cos (\frac{1}{2}(\mathrm{A}-\mathrm{B}))$.

Απόδειξη χωρίς λόγια

Μία απόδειξη χωρίς λόγια είχε δοθεί από τον Rex H. Wu.

Εφαρμογές

Νόμος των εφαπτομένων

Διαιρώντας τις δύο εξισώσεις κατά μέλη, λαμβάνουμε τον νόμο των εφαπτομένων

$\frac{\alpha -\beta }{\alpha +\beta }=\frac{\tan (\frac{1}{2}(\mathrm{A}-\mathrm{B}))}{\tan (\frac{1}{2}(\mathrm{A}+\mathrm{B}))}$.