Υπερεπιφάνεια

Υπερεπιφάνεια τάξης 2: $f(x,y)=x^2-4xy+y^2+1$

Στη γεωμετρία, η υπερεπιφάνεια είναι μια γενίκευση των εννοιών του υπερεπιπέδου, της επίπεδης καμπύλης και της επιφάνειας. Μια υπερεπιφάνεια είναι μια πολλαπλότητα ή μια αλγεβρική ποικιλία διάστασης n - 1, η οποία είναι ενσωματωμένη σε έναν περιβαλλοντικό χώρο διάστασης n, γενικά έναν ευκλείδειο χώρο, έναν αφινικό χώρο ή έναν προβολικό χώρο. Οι υπερεπιφάνειες μοιράζονται, με τις επιφάνειες σε έναν τρισδιάστατο χώρο, την ιδιότητα να ορίζονται από μια μοναδική Άρρητη συνάρτηση, τουλάχιστον τοπικά (κοντά σε κάθε σημείο), και μερικές φορές συνολικά.

Μια υπερεπιφάνεια σε έναν (ευκλείδειο, αφινικό ή προβολικό) χώρο διάστασης δύο είναι μια επίπεδη καμπύλη. Σε ένα χώρο τριών διαστάσεων, είναι μια επιφάνεια.

Επί παραδείγματι, η εξίσωση

$x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2-1=0$

ορίζει μια αλγεβρική υπερεπιφάνεια διάστασης Πρότυπο:Math στον Ευκλείδειο χώρο διάστασης Πρότυπο:Math. Αυτή η υπερεπιφάνεια είναι επίσης μια ομαλή πολλαπλότητα και ονομάζεται υπερσφαίρα ή Πρότυπο:Math-σφαίρα.

Ομαλή υπερεπιφάνεια

Μια υπερεπιφάνεια που είναι μια ομαλή πολλαπλότητα ονομάζεται ομαλή υπερεπιφάνεια.

Στον Πρότυπο:Math, μια λεία υπερεπιφάνεια είναι προσανατολισμένη Κάθε συνδεδεμένη συμπαγής λεία υπερεπιφάνεια είναι ένα σύνολο επιπέδων και διαχωρίζει τον Rⁿ σε δύο συνδεδεμένες συνιστώσες- αυτό σχετίζεται με το θεώρημα διαχωρισμού Τζόρνταν-Μπρούβερ.

Ομοπαραλληλική αλγεβρική υπερεπιφάνεια

Μια αλγεβρική υπερεπιφάνεια είναι μια αλγεβρική ποικιλία που μπορεί να οριστεί από μια απλή άρρητη εξίσωση της μορφής

$p(x_1,\dots ,x_n)=0,$

όπου Πρότυπο:Mvar είναι ένα πολυμεταβλητό πολυώνυμο. Γενικά το πολυώνυμο υποτίθεται ότι είναι μη αναγωγίσιμο. Όταν αυτό δεν συμβαίνει, η υπερεπιφάνεια δεν είναι μια αλγεβρική ποικιλία, αλλά μόνο ένα αλγεβρικό σύνολο. Μπορεί να εξαρτάται από τους συγγραφείς ή το πλαίσιο αν ένα αναγώγιμο πολυώνυμο ορίζει μια υπερεπιφάνεια. Για την αποφυγή της ασάφειας, χρησιμοποιείται συχνά ο όρος μη αναγωγίσιμη υπερεπιφάνεια.

Όπως και για τις αλγεβρικές ποικιλίες, οι συντελεστές του καθοριστικού πολυωνύμου μπορούν να ανήκουν σε οποιοδήποτε σταθερό πεδίο Πρότυπο:Mvar, και τα σημεία της υπερεπιφάνειας είναι τα μηδενικά του p στον Ομοπαραλληλικό χώρο $K^n,$ όπου Πρότυπο:Mvar είναι μια αλγεβρικά κλειστή επέκταση του Πρότυπο:Mvar.

Μια υπερεπιφάνεια μπορεί να έχει ιδιομορφίες, οι οποίες είναι τα κοινά μηδενικά, αν υπάρχουν, του καθοριστικού πολυωνύμου και των μερικών παραγώγων του. Ειδικότερα, μια πραγματική αλγεβρική υπερεπιφάνεια δεν είναι απαραίτητα πολλαπλότητα.

Ιδιότητες

Οι υπερεπιφάνειες έχουν ορισμένες ειδικές ιδιότητες που δεν μοιράζονται με άλλες αλγεβρικές ποικιλίες.

Μία από τις βασικές τέτοιες ιδιότητες είναι το Θεώρημα των μηδενικών του Χίλμπερτ, το οποίο ισχυρίζεται ότι μια υπερεπιφάνεια περιέχει ένα δεδομένο αλγεβρικό σύνολο εάν και μόνο εάν το καθοριστικό πολυώνυμο της υπερεπιφάνειας έχει δύναμη που ανήκει στο ιδανικό που παράγεται από τα καθοριστικά πολυώνυμα του αλγεβρικού συνόλου.

Ένα επακόλουθο αυτού του θεωρήματος είναι ότι, αν δύο μη αναγώγιμα πολυώνυμα (ή γενικότερα δύο πολυώνυμα χωρίς τετράγωνα) ορίζουν την ίδια υπερεπιφάνεια, τότε το ένα είναι το γινόμενο του άλλου με μια μη μηδενική σταθερά.

Οι υπερεπιφάνειες είναι ακριβώς οι υποδιαστολές διάστασης Πρότυπο:Math ενός συναφούς χώρου διάστασης Πρότυπο:Mvar. Αυτή είναι η γεωμετρική ερμηνεία του γεγονότος ότι, σε έναν πολυωνυμικό δακτύλιο πάνω από ένα πεδίο, το ύψος ενός ιδανικού είναι 1 αν και μόνο αν το αν το ιδεώδες είναι κύριο ιδεώδες. Στην περίπτωση των πιθανώς αναγώγιμων υπερεπιφανειών, το αποτέλεσμα αυτό μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: οι υπερεπιφάνειες είναι ακριβώς τα αλγεβρικά σύνολα των οποίων όλες οι μη αναγώγιμες συνιστώσες έχουν διάσταση Πρότυπο:Math.

Πραγματικά και ρητά σημεία

Μια πραγματική υπερεπιφάνεια είναι μια υπερεπιφάνεια που ορίζεται από ένα πολυώνυμο με πραγματικούς συντελεστές. Στην περίπτωση αυτή το αλγεβρικά κλειστό πεδίο πάνω στο οποίο ορίζονται τα σημεία είναι γενικά το πεδίο $ℂ$ των μιγαδικών αριθμών. Τα πραγματικά σημεία μιας πραγματικής υπερεπιφάνειας είναι τα σημεία που ανήκουν στο ${ℝ}^n\subset {ℂ}^n.$. Το σύνολο των πραγματικών σημείων μιας πραγματικής υπερεπιφάνειας είναι το πραγματικό μέρος της υπερεπιφάνειας. Συχνά, αφήνεται στα συμφραζόμενα αν ο όρος υπερεπιφάνεια αναφέρεται σε όλα τα σημεία ή μόνο στο πραγματικό μέρος.

Αν οι συντελεστές του καθοριστικού πολυωνύμου ανήκουν σε ένα πεδίο Πρότυπο:Mvar που δεν είναι αλγεβρικά κλειστό (συνήθως το πεδίο των ρητών αριθμών, ένα πεπερασμένο πεδίο ή ένα πεδίο αριθμών), λέμε ότι η υπερεπιφάνεια ορίζεται πάνω στο Πρότυπο:Mvar, και τα σημεία που ανήκουν στο $k^n$ είναι ρητά πάνω στο Πρότυπο:Mvar (στην περίπτωση του πεδίου των ρητών αριθμών, το "πάνω στο Πρότυπο:Mvar" γενικά παραλείπεται).

Παραδείγµατος χάριν, η φανταστική Πρότυπο:Mvar-sphere που ορίζεται από την εξίσωση

$x_0^2+\cdots +x_n^2+1=0$

είναι μια πραγματική υπερεπιφάνεια χωρίς κανένα πραγματικό σημείο, η οποία ορίζεται στους ρητούς αριθμούς. Δεν έχει κανένα ρητό σημείο, αλλά έχει πολλά σημεία που είναι ρητά πάνω από τους ρητούς αριθμούς Γκάους.

Προβολική αλγεβρική υπερεπιφάνεια

Μια προβολική (αλγεβρική) υπερεπιφάνεια διάστασης Πρότυπο:Math σε έναν προβολικό χώρο διάστασης Πρότυπο:Mvar πάνω από ένα πεδίο Πρότυπο:Mvar ορίζεται από ένα ομογενές πολυώνυμο $P(x_0,x_1,\dots ,x_n)$ in Πρότυπο:Math σε Πρότυπο:Math απροσδιόριστα. Ως συνήθως, ομοιογενές πολυώνυμο σημαίνει ότι όλα τα μονοώνυμα του Πρότυπο:Mvar έχουν τον ίδιο βαθμό, ή, ισοδύναμα ότι $P(c{x}_0,c{x}_1,\dots ,c{x}_n)=c^{d}P(x_0,x_1,\dots ,x_n)$ για κάθε σταθερά Πρότυπο:Mvar, όπου d είναι ο βαθμός του πολυωνύμου. Τα σημεία Πρότυπο:Em της υπερεπιφάνειας είναι τα σημεία του προβολικού χώρου των οποίων οι προβολικές συντεταγμένες είναι μηδενικά του Πρότυπο:Mvar..

Αν επιλέξουμε το υπερεπίπεδο της εξίσωσης $x_0=0$ ως υπερεπίπεδο στο άπειρο, το συμπλήρωμα αυτού του υπερεπιπέδου είναι ένας αφινικός χώρος και τα σημεία της προβολικής υπερεπιφάνειας που ανήκουν σε αυτόν τον αφινικό χώρο σχηματίζουν μια αφινική υπερεπιφάνεια της εξίσωσης $P(1,x_1,\dots ,x_n)=0.$. Αντίστροφα, δεδομένης μιας affine υπερεπιφάνειας της εξίσωσης $p(x_1,\dots ,x_n)=0,$ ορίζει μια προβολική υπερεπιφάνεια, που ονομάζεται προβολική της ολοκλήρωση, της οποίας η εξίσωση προκύπτει από την ομογενοποίηση της Πρότυπο:Mvar. Δηλαδή, η εξίσωση της προβολικής ολοκλήρωσης είναι $P(x_0,x_1,\dots ,x_n)=0,$ με

$P(x_0,x_1,\dots ,x_n)=x_0^{d}p(x_1/x_0,\dots ,x_n/x_0),$

όπου Πρότυπο:Mvar είναι ο βαθμός του Πρότυπο:Mvar.

Αυτές οι δύο διαδικασίες, η προβολική ολοκλήρωση και ο περιορισμός σε έναν αφινικό υποχώρο, είναι αντίστροφες η μία προς την άλλη. Επομένως, μια αφινική υπερεπιφάνεια και η προβολική της ολοκλήρωση έχουν ουσιαστικά τις ίδιες ιδιότητες και συχνά θεωρούνται ως δύο οπτικές γωνίες της ίδιας υπερεπιφάνειας.

Ωστόσο, μπορεί να συμβεί μια αφινική υπερεπιφάνεια να είναι μη ιδιαζουσα, ενώ η προβολική της ολοκλήρωση να έχει ιδιαζοντα σημεία. Σε αυτή την περίπτωση, λέμε ότι η αφινική επιφάνεια είναι μονήρης στο άπειρο. Για παράδειγμα, ο κυκλικός κύλινδρος της εξίσωσης

$x^2+y^2-1=0$

στον αφινικό χώρο διάστασης τρία έχει ένα μοναδικό ιδιάζων σημείο, το οποίο βρίσκεται στο άπειρο, στην κατεύθυνση Πρότυπο:Math.

Βιβλιογραφία

• Πρότυπο:Springer
• Shoshichi Kobayashi and Katsumi Nomizu (1969), Foundations of Differential Geometry Vol II, Wiley Interscience
• P.A. Simionescu & D. Beal (2004) Visualization of hypersurfaces and multivariable (objective) functions by partial globalization, The Visual Computer 20(10):665–81.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Encyclopedia of Math