Υπερτέλειος αριθμός

Επίδειξη, με ράβδους Cuisenaire, της αφθονίας του αριθμού 12

Στη Θεωρία αριθμών, υπερτέλειος αριθμός (Πρότυπο:Lang-en) είναι ένας αριθμός που είναι μικρότερος από το άθροισμα των διαιρετών του, πλην τον ίδιο (proper divisors). Ο ακέραιος αριθμός 12 είναι ο πρώτος υπερτέλειος αριθμός. Οι διαιρέτες του (πλην τον ίδιο) είναι 1, 2, 3, 4 και 6 με άθροισμα 16. Το ποσό κατά το οποίο το άθροισμα υπερβαίνει τον αριθμό είναι η αφθονία. Ο αριθμός 12 έχει αφθονία 4 (16 - 12).

Ορισμός

Ένας αριθμός ν για τον οποίο το άθροισμα των διαιρετών σ(ν) > 2ν, ή, ισοδύναμα, το άθροισμα των κατάλληλων διαιρετών (ή άθροισμα ομαλών διαιρετών) s(ν) > ν.

Η αφθονία είναι η τιμή σ(ν) − 2ν (ή s(ν) − ν).

Παραδείγματα

Οι πρώτοι 28 υπερτέλειοι αριθμοί είναι:

12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 102, 104, 108, 112, 114, 120, ... Πρότυπο:Oeis.

Για παράδειγμα, οι διαιρέτες του 24 (χωρίς το 24) είναι 1, 2, 3, 4, 6, 8 και 12, των οποίων το άθροισμα είναι 36. Επειδή το 36 είναι μεγαλύτερο από το 24, ο αριθμός 24 είναι υπερτέλειος. Η αφθονία του είναι 36 − 24 = 12.

Ιδιότητες

• Ο μικρότερος περιττός υπερτέλειος αριθμός είναι το 945.
• Ο μικρότερος υπερτέλειος αριθμός που δε διαιρείται με το 2 ή το 3 είναι ο 5.391.411.025 του οποίου οι ξεχωριστοί πρώτοι παράγοντες είναι 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 και 29 Πρότυπο:OEIS. Ένας αλγόριθμος που δόθηκε από τον Ιανούτσι το 2005 δείχνει πώς να βρούμε τον μικρότερο υπερτέλειο αριθμό που δε διαιρείται με τους κ πρώτους αριθμούς. Αν $\mathrm{A}(\kappa )$ αντιπροσωπεύει τον μικρότερο υπερτέλειο αριθμό που δε διαιρείται με τους πρώτους κ πρώτους, τότε για όλα $\gamma >0$ έχουμε

$(1-ϵ)(k\ln k{)}^{2-ϵ}<\ln A(k)<(1+ϵ)(k\ln k{)}^{2+ϵ}$

για αρκετά μεγάλο κ.

• Κάθε πολλαπλάσιο ενός τέλειου αριθμού είναι υπερτέλειος αριθμός. Για παράδειγμα, κάθε πολλαπλάσιο του 6 είναι υπερτέλειο γιατί $1+\frac{\nu }{2}+\frac{\nu }{3}+\frac{\nu }{6}=\nu +1.$
• Κάθε πολλαπλάσιο ενός υπερτέλειου αριθμού είναι υπερτέλειο. Για παράδειγμα, κάθε πολλαπλάσιο του 20 (συμπεριλαμβανομένου του ίδιου του 20) είναι υπερτέλειο επειδή $\frac{\nu }{2}+\frac{\nu }{4}+\frac{\nu }{5}+\frac{\nu }{10}+\frac{\nu }{20}=\nu +\frac{\nu }{10}.$
• Κατά συνέπεια, υπάρχουν απείρως πολλοί άρτιοι και περιττοί υπερτέλειοι αριθμοί.
• Επιπλέον, το σύνολο των υπερτέλειων αριθμών έχει μη μηδενική φυσική πυκνότητα. Ο Μαρκ Ντελεγκλίζ έδειξε το 1998 ότι η φυσική πυκνότητα του συνόλου των υπερτέλειων αριθμών και των τέλειων αριθμών είναι μεταξύ 0,2474 και 0,2480.
• Ένας υπερτέλειος αριθμός που δεν είναι το πολλαπλάσιο ενός υπερτέλειου αριθμού ή τέλειου αριθμού (δηλαδή όλοι οι κατάλληλοι διαιρέτες του είναι ελλειμματικοί) ονομάζεται αρχικός υπερτέλειος αριθμός
• Ένας υπερτέλειος αριθμός του οποίου η αφθονία είναι μεγαλύτερη από οποιονδήποτε μικρότερο αριθμό ονομάζεται πολύ υπερτέλειος αριθμός και ένας του οποίου η σχετική αφθονία (δηλ. s(ν)/ν) είναι μεγαλύτερη από οποιοδήποτε μικρότερο αριθμό ονομάζεται υπεράφθονος αριθμός
• Κάθε ακέραιος μεγαλύτερος του 20.161 μπορεί να γραφτεί ως άθροισμα δύο υπερτέλειος αριθμών.
• Ένας υπερτέλειος αριθμός που δεν είναι ημιτέλειος ονομάζεται περίεργος αριθμός. Ένας υπερτέλειος αριθμός με αφθονία 1 ονομάζεται οιονεί τέλειος αριθμός, αν και κανένας δεν έχει βρεθεί ακόμη.

Σχετικές έννοιες

Οι αριθμοί των οποίων το άθροισμα των κατάλληλων παραγόντων τους ισούται με τον ίδιο τον αριθμό (όπως 6 και 28) ονομάζονται τέλειοι αριθμοί, ενώ οι αριθμοί των οποίων το άθροισμα των κατάλληλων παραγόντων τους είναι μικρότερος από τον ίδιο τον αριθμό ονομάζονται ελλιπείς αριθμοί. Η πρώτη γνωστή ταξινόμηση των αριθμών ως ανεπαρκών, τέλειων ή υπερτέλειων έγινε από τον Νικόμαχο στο Ἀριθμητικὴ εἰσαγωγή (περίπου το 100 μ.Χ.), το οποίο περιέγραφε τους άφθονους αριθμούς σαν παραμορφωμένα ζώα με πάρα πολλά άκρα.

Ο δείκτης αφθονίας του ν είναι ο λόγος σ(ν)/ν. Οι διακριτοί αριθμοί ν₁, ν₂, ... (είτε υπερτέλειοι είτε όχι) με τον ίδιο δείκτη αφθονίας ονομάζονται φιλικοί αριθμοί.

Η ακολουθία (α_κ) τουλάχιστον ν αριθμών έτσι ώστε σ(ν) > κν, στην οποία το α₂ = 12 αντιστοιχεί στον πρώτο υπερτέλειο αριθμό, αναπτύσσεται πολύ γρήγορα Πρότυπο:OEIS

Ο μικρότερος περιττός ακέραιος με δείκτη αφθονίας που υπερβαίνει το 3 είναι ο 1.018.976.683.725 = 3³ × 5² × 7² × 11 × 13 × 17 × 19 × 23 × 29.

Εάν το p = (p₁, ..., p_ν) είναι μια λίστα πρώτων, τότε το p ονομάζεται υπερτέλειο εάν κάποιος ακέραιος αριθμός που αποτελείται μόνο από πρώτους στο p είναι υπερτέλειος. Απαραίτητη και επαρκής προϋπόθεση για αυτό είναι το γινόμενο του p_i/(p_i − 1) να είναι > 2.

Παραπομπές

• Πρότυπο:Cite book

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• The Prime Glossary: Άφθονος αριθμός
• Πρότυπο:Mathworld