Mandelbulb

Το φράκταλ Mandelbulb είναι ένα τρισδιάστατο φράκταλ. Κατασκευάστηκε το 2009 από τους Ντάνιελ Γουάιτ και Πολ Νάιλαντερ. Για να το πετύχουν αυτό, υπέβαλαν ένα συμβατικό σύνολο Μάντελμπροτ σε έναν γεωμετρικό μετασχηματισμό σφαιρικών συντεταγμένων ^[1].

Μαθηματικά

Αρχείο:Visit of the Mandelbulb (4K UHD; 50FPS).webm

Ένα τρισδιάστατο σύνολο Μάντελμπροτ σε κανονική μορφή δεν υπάρχει με αυτόν τον τρόπο, επειδή δεν υπάρχει τρισδιάστατο ανάλογο του μιγαδικού επιπέδου (αλλά μόνο συστήματα αριθμών υψηλότερων διαστάσεων, όπως τα τετραδόνια (quaternions) ή οι διαστάσεις άλλων υπερσυμπλεγματικών αριθμών).

Ο τύπος των Γουάιτ και Νάιλαντερ για την n-th δύναμη του διανύσματος $𝐯 = (x, y, z)^{𝖳}$ σε ένα καρτεσιανό σύστημα αναφορών ( $ℝ^{3}$ ) είναι

𝐯^{n} : = r^{n} (\begin{matrix} \sin (n θ) \cos (n ϕ) \\ \sin (n θ) \sin (n ϕ) \\ \cos (n θ) \end{matrix})

με τη χρήση

r = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}

,

ϕ = \arctan (y / x) = \arg (x + y i)

und

θ = \arctan (\sqrt{x^{2} + y^{2}} / z) = \arccos (z / r)

.

Το φράκταλ Mandelbulb ορίζεται τότε ως το σύνολο των τιμών $𝐜 \in ℝ^{3}$ για το οποίο η τροχιά του $(0, 0, 0)^{𝖳}$ είναι περιορισμένη υπό την επανάληψη $𝐯 \mapsto 𝐯^{n} + 𝐜$ .^[2] Για n > 3 , το αποτέλεσμα είναι μια τρισδιάστατη δομή που μοιάζει με αχλάδι, με λεπτομέρεια επιφάνειας φράκταλ και έναν αριθμό "λοβών" που εξαρτάται από το n. Πολλές απεικονίσεις γραφικών παραστάσεων χρησιμοποιούν την τιμή 8 για το n. Οι εξισώσεις μπορούν να απλοποιηθούν σε ορθολογικά πολυώνυμα αν το n είναι περιττό. Για την περίπτωση n = 3, το γράφημα $𝐯 \mapsto 𝐯^{3}$ μπορεί να μετατραπεί στην ακόλουθη απλοποιημένη μορφή:

{(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix})}^{3} = (\begin{matrix} \frac{(3 z^{2} - x^{2} - y^{2}) x (x^{2} - 3 y^{2})}{x^{2} + y^{2}} \\ \frac{(3 z^{2} - x^{2} - y^{2}) y (3 x^{2} - y^{2})}{x^{2} + y^{2}} \\ z (z^{2} - 3 x^{2} - 3 y^{2}) \end{matrix})

.

Γενικότερα, αντίστοιχα φράκταλ (που εξαρτώνται όχι μόνο από το n αλλά και από τα p και q) μπορούν να υπολογιστούν για το σχήμα

𝐯^{n} : = r^{n} (\begin{matrix} \sin (p θ) \cos (q ϕ) \\ \sin (p θ) \sin (q ϕ) \\ \cos (p θ) \end{matrix})

όπου τα p και q δεν χρειάζεται να είναι ίσα με n για να ισχύει η $‖ 𝐯^{n} ‖ = ‖ 𝐯 ‖^{n}$ . Ακόμη πιο γενικά φράκταλ μπορούν να δημιουργηθούν με την επανάληψη

𝐯^{n} : = r^{n} (\begin{matrix} \sin (f (θ, ϕ)) \cos (g (θ, ϕ)) \\ \sin (f (θ, ϕ)) \sin (g (θ, ϕ)) \\ \cos (f (θ, ϕ)) \end{matrix})

μπορούν να βρεθούν.

Ομοιότητα με το σύνολο Μάντελμπροτ

Αρχείο:Mandelbulbbrot20220104 VP9 fast 4500p60.webm

Με ορισμένους μετασχηματισμούς του φράκταλ Mandelbulb, μπορεί να μαντέψει κανείς μια ομοιότητα με το σύνολο Μάντελμπροτ. Αν κόψει κανείς το φράκταλ στη μέση στην περίπτωση n = 2 , αναγνωρίζει το κλασικό σύνολο Μάντελμπροτ.

Το σύνολο Julia στο σημείο μηδέν του συνόλου Μάντελμπροτ αντιστοιχεί σε μια ιδανική κυκλική επιφάνεια. Αντίστοιχα, το σύνολο Julia στο σημείο μηδέν του φράκταλ Mandelbulb είναι μια ιδανική σφαίρα. Επομένως, αυτά τα σύνολα Julia διαφέρουν μεταξύ τους μόνο ως προς τον αριθμό των διαστάσεων.

Πληροφορίες

Στην ταινία κινουμένων σχεδίων Baymax του 2014, μια σκηνή λαμβάνει χώρα στο κέντρο μιας σκουληκότρυπας που μοιάζει με το στυλιζαρισμένο εσωτερικό ενός φράκταλ Mandelbulb^[3]
Ένας εξωγήινος στην ταινία τρόμου επιστημονικής φαντασίας Extinction ως μέρος ενός φράκταλ Mandelbulb^[4].
Το πνευματικό βασίλειο του Κερτ στο διαδικτυακό κόμικ Unsounded απεικονίζεται ως ένα χρυσό Mandelbulb.

Έκθεση

Η παρακάτω Έκθεση παρουσιάζει διάφορες απόψεις και ειδικά χαρακτηριστικά του φράκταλ Mandelbulb^[5].

Γενική άποψη
Άποψη από ψηλά
Ένας "κόνδυλος
Το πάνω μέρος
Επισκόπηση των "ράβδων
Ένα "έλασμα" αναλυτικά
Μια εσοχή του Mandelbulb
Άποψη ενός κομμένου κοίλου βολβού αμυγδάλου
Mandelbulb από τη σκοπιά τριών αξόνων περιστροφής
"Αξονική τομογραφία" του βολβού της αμυγδαλής που δείχνει διαφορετικά στρώματα
Επισκόπηση (πτήση πάνω από διάφορα μέρη)
Σωλήνες από κοντά
Αύξηση της μεταβλητής του τύπου φράκταλ v^x ↦ v + c, γραμμική αύξηση της τιμής του x από 0 έως 21- μετωπική όψη
Αύξηση της μεταβλητής του τύπου φράκταλ v^x ↦ v + c, γραμμική αύξηση της τιμής του x από 0 έως 21- φράκταλ περιστραμμένο κατά 90° (άποψη από ψηλά)