Όνειρο του δευτεροετούς

Γραφική παράσταση των συναρτήσεων y = x^x (κόκκινο, κάτω) και y = x^−x (γκρι, πάνω) στο διάστημα x ∈ (0, 1].

Στα μαθηματικά, το όνειρο του δευτεροετούς είναι το ζεύγος των ταυτοτήτων (ειδικά η πρώτη)

$\begin{array}{cccc}& \underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{-x}dx& & =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{n}^{-n}\\ & \underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{x}dx& & =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n+1}{n}^{-n}=-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-n{)}^{-n}\end{array}$

ανακαλύφθηκε το 1697 από τον Γιόχαν Μπερνούλι.

Οι αριθμητικές τιμές αυτών των σταθερών είναι περίπου 1,291285997... και 0,7834305107..., αντίστοιχα.

Η ονομασία «όνειρο του δευτεροετούς» έρχεται σε αντίθεση με την ονομασία «όνειρο του πρωτοετούς » που δίνεται στην εσφαλμένη ταυτότητα Πρότυπο:Nowrap Το όνειρο του δευτεροετούς έχει μια παρόμοια αίσθηση του υπερβολικά καλό για να είναι αληθινό, αλλά είναι αληθινό.

Απόδειξη

Οι αποδείξεις των δύο ταυτοτήτων είναι εντελώς ανάλογες, οπότε παρουσιάζεται εδώ μόνο η απόδειξη της δεύτερης. Τα βασικά συστατικά της απόδειξης είναι τα εξής:

• για να γράψουμε $x^x=\exp (x\ln x)$ (χρησιμοποιώντας τον συμβολισμό Πρότυπο:Math για τον φυσικό λογάριθμο και Πρότυπο:Math για την εκθετική συνάρτηση),
• για να αναπτύξετε $\exp (x\ln x)$ χρησιμοποιώντας τη δυνάμοσειρά για Πρότυπο:Math- και
• για να ολοκληρωθεί κατά όρους, χρησιμοποιώντας την ολοκλήρωση με αντικατάσταση.

Αναλυτικά, Πρότυπο:Math μπορεί να αναπτυχθεί ως εξής

$x^x=\exp (x\log x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n(\log x{)}^n}{n!}.$

Ως εκ τούτου,

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{x}dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n(\log x{)}^n}{n!}dx.$

Με την ομοιόμορφη σύγκλιση της δυναμοσειράς, μπορεί κανείς να εναλλάξει την άθροιση και την ολοκλήρωση για να προκύψει

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{x}dx=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^n(\log x{)}^n}{n!}dx.$

Για την αξιολόγηση των παραπάνω ολοκληρωμάτων, μπορούμε να αλλάξουμε τη μεταβλητή στο ολοκλήρωμα μέσω της αντικατάστασης $x=\exp (-\frac{u}{n+1}).$ Με αυτή την αντικατάσταση, τα όρια ολοκλήρωσης μετατρέπονται σε $0<u<\mathrm{\infty },$ δίνοντας την ταυτότητα

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^n(\log x{)}^{n}dx=(-1{)}^n(n+1{)}^{-(n+1)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{u}^n{e}^{-u}du.$

Με την ολοκλήρωση της ταυτότητας του Όιλερ για τη συνάρτηση Γάμμα, έχουμε

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{u}^n{e}^{-u}du=n!,$

έτσι ώστε

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^n(\log x{)}^n}{n!}dx=(-1{)}^n(n+1{)}^{-(n+1)}.$

Αθροίζοντας αυτά (και αλλάζοντας την ευρετηρίαση ώστε να ξεκινά από Πρότυπο:Math αντί για Πρότυπο:Math) προκύπτει ο τύπος.

Ιστορική απόδειξη

Η αρχική απόδειξη, που δόθηκε στο Μπερνούλι,Πρότυπο:Sfn και παρουσιάστηκε σε εκσυγχρονισμένη μορφή στο Ντάνχαμ,Πρότυπο:Sfn διαφέρει από την παραπάνω στο πώς υπολογίζεται το κατά όρους ολοκλήρωμα ${\int }_0^1{x}^n(\log x{)}^{n}dx$ αλλά κατά τα άλλα είναι η ίδια, παραλείποντας τεχνικές λεπτομέρειες για την αιτιολόγηση των βημάτων (όπως η ολοκλήρωση κατά όρους). Αντί να ολοκληρώσει με αντικατάσταση, που δίνει τη συνάρτηση Γάμμα (η οποία δεν ήταν ακόμη γνωστή), ο Μπερνούλι χρησιμοποίησε την ολοκλήρωση κατά μέρη για τον επαναληπτικό υπολογισμό αυτών των όρων.

Η ολοκλήρωση κατά μέρη προχωρά ως εξής, μεταβάλλοντας τους δύο εκθέτες ανεξάρτητα για να προκύψει μια αναδρομή. Αρχικά υπολογίζεται ένα απροσδιόριστο ολοκλήρωμα, παραλείποντας τη σταθερά ολοκληρώσεως $+C$ τόσο επειδή αυτό γινόταν ιστορικά, όσο και επειδή πέφτει έξω κατά τον υπολογισμό του ορισμένου ολοκληρώματος.

Ολοκληρώνοντας $\int x^m(\log x{)}^{n}dx$ με αντικατάσταση $u=(\log x{)}^n$ and $dv=x^{m}dx$ προκύπτει:

$\begin{array}{cc}\int x^m(\log x{)}^{n}dx& =\frac{x^{m+1}(\log x{)}^n}{m+1}-\frac{n}{m+1}\int x^{m+1}\frac{(\log x{)}^{n-1}}{x}dx\text{(for }m\ne -1\text{)}\\ & =\frac{x^{m+1}}{m+1}(\log x{)}^n-\frac{n}{m+1}\int x^m(\log x{)}^{n-1}dx\text{(for }m\ne -1\text{)}\end{array}$

(επίσης στον κατάλογο των ολοκληρωμάτων λογαριθμικών συναρτήσεων). Αυτό μειώνει τη δύναμη του λογαρίθμου στο ολοκλήρωμα κατά 1 (από $n$ σε $n-1$) και έτσι μπορεί κανείς να υπολογίσει το ολοκλήρωμα επαγωγικά, ως εξής

$\int x^m(\log x{)}^{n}dx=\frac{x^{m+1}}{m+1}\cdot \sum _{i=0}^n(-1{)}^i\frac{(n{)}_i}{(m+1{)}^i}(\log x{)}^{n-i}$

όπου $(n{)}_i$ υποδηλώνει το φθίνον παραγοντικό- υπάρχει πεπερασμένο άθροισμα επειδή η επαγωγή σταματά στο 0, αφού Πρότυπο:Mvar είναι ακέραιος.

Στην περίπτωση αυτή $m=n$ και είναι ακέραιοι, οπότε

$\int x^n(\log x{)}^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}\cdot \sum _{i=0}^n(-1{)}^i\frac{(n{)}_i}{(n+1{)}^i}(\log x{)}^{n-i}.$

Ολοκληρώνοντας από το 0 έως το 1, όλοι οι όροι εξαφανίζονται εκτός από τον τελευταίο όρο στο 1, ο οποίος δίνει:

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^n(\log x{)}^n}{n!}dx=\frac{1}{n!}\frac{1^{n+1}}{n+1}(-1{)}^n\frac{(n{)}_n}{(n+1{)}^n}=(-1{)}^n(n+1{)}^{-(n+1)}.$

Αυτό είναι ισοδύναμο με τον υπολογισμό της ολοκληρωτικής ταυτότητας του Euler $\mathrm{\Gamma }(n+1)=n!$ για τη συνάρτηση Γάμμα σε ένα διαφορετικό πεδίο (που αντιστοιχεί στην αλλαγή των μεταβλητών με αντικατάσταση), καθώς η ίδια η ταυτότητα του Όιλερ μπορεί επίσης να υπολογιστεί μέσω μιας ανάλογης ολοκλήρωσης κατά μέρη.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
• Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή

Δείτε επίσης

• Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
• Τριγωνομετρική συνάρτηση
• Συνάρτηση γάμμα
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Διαφορική γεωμετρία
• Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
• Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
• Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
• Ευκλείδειος χώρος
• Ανρί Λεόν Λεμπέσγκ
• Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
• Εφαρμοσμένα μαθηματικά
• Προβολικός χώρος
• Δυναμοσειρές
• Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Μιγαδικός αριθμός
• Τυχαία μεταβλητή
• Ακέραιος αριθμός

Βιβλιογραφία

• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book

Παραπομπές

• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• OEIS, Πρότυπο:OEIS and Πρότυπο:OEIS
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:MathWorld
• Max R. P. Grossmann (2017): Sophomore's dream. 1,000,000 digits of the first constant

• Πρότυπο:Citation.
• Πρότυπο:Citation.
• Πρότυπο:Citation

• Literature for x^x and Sophomore's Dream, Tetration Forum, 03/02/2010
• The Coupled Exponential, Jay A. Fantini, Gilbert C. Kloepfer, 1998
• Sophomore's Dream Function, Jean Jacquelin, 2010, 13 pp.
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal

• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite book Ch. 1–6 of 2013 edition

Πηγές

• Humanitarian Data Exchange(HDX) – The Humanitarian Data Exchange (HDX) is an open humanitarian data sharing platform managed by the United Nations Office for the Coordination of Humanitarian Affairs.
• NYC Open Data – free public data published by New York City agencies and other partners.
• Relational data set repository Πρότυπο:Webarchive
• Research Pipeline – a wiki/website with links to data sets on many different topics
• StatLib–JASA Data Archive
• UCI – a machine learning repository
• UK Government Public Data
• World Bank Open Data – Free and open access to global development data by World Bank
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation