Ύψος τριγώνου

Το ύψος ${\upsilon }_{\mathrm{A}}$ του τριγώνου $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ που αντιστοιχεί στην κορυφή $\mathrm{A}$.

Στην γεωμετρία, ύψος ενός τριγώνου είναι το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα από μία κορυφή προς την απέναντι πλευρά (ή την προέκτασή της).

Σε κάθε τρίγωνο τα τρία ύψη (ή οι προεκτάσεις τους) διέρχονται από το ίδιο σημείο, το οποίο ονομάζεται ορθόκεντρο.

Στο τρίγωνο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$, τα ύψη $\mathrm{A}{\mathrm{H}}_{\mathrm{A}},\mathrm{B}{\mathrm{H}}_{\mathrm{B}},\mathrm{\Gamma }{\mathrm{H}}_{\mathrm{\Gamma }}$ συνήθως συμβολίζονται ως ${\upsilon }_{\mathrm{A}},{\upsilon }_{\mathrm{B}},{\upsilon }_{\mathrm{\Gamma }}$ ή ${\upsilon }_{\alpha },{\upsilon }_{\beta },{\upsilon }_{\gamma }$ αντίστοιχα.

Ιδιότητες

• (Ευθεία του Όιλερ) Το βαρύκεντρο $\mathrm{G}$, το ορθόκεντρο $\mathrm{H}$ και το περίκεντρο $\mathrm{O}$ είναι συγγραμμικά και $\mathrm{H}\mathrm{G}=2\cdot \mathrm{G}\mathrm{O}$.
• (Κύκλος του Όιλερ) Το σημεία ${\mathrm{H}}_{\mathrm{A}},{\mathrm{H}}_{\mathrm{B}},{\mathrm{H}}_{\mathrm{\Gamma }}$, τα μέσα των $\mathrm{A}\mathrm{H},\mathrm{B}\mathrm{H},\mathrm{\Gamma }\mathrm{H}$ και τα μέσα των πλευρών ανήκουν στον ίδιο κύκλο.
• (Θεώρημα Νάγκελ) Αν $\mathrm{O}$ είναι το περίκεντρο του τριγώνου, τότε

${\mathrm{H}}_{\mathrm{A}}{\mathrm{H}}_{\mathrm{B}}\perp \mathrm{O}\mathrm{\Gamma }$, ${\mathrm{H}}_{\mathrm{B}}{\mathrm{H}}_{\mathrm{\Gamma }}\perp \mathrm{O}\mathrm{A}$ και ${\mathrm{H}}_{\mathrm{A}}{\mathrm{H}}_{\mathrm{\Gamma }}\perp \mathrm{O}\mathrm{B}$.

Ο κύκλος Taylor (σε κόκκινο) του τριγώνου $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$.

• (Κύκλος Taylor) Τα έξη ίχνη των υψών στις πλευρές των τριγώνων ανήκουν στον ίδιο κύκλο.
• Το συμμετρικό σημείο του ορθόκεντρου ως προς κάθε μία από τις πλευρές είναι σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου.Πρότυπο:RΠρότυπο:R
• Το συμμετρικό σημείο του ορθόκεντρου ως προς το μέσο κάθε μίας από τις πλευρές του είναι σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου.Πρότυπο:R
• Το ορθόκεντρο είναι το σημείο $\mathrm{P}$ που ελαχιστοποιεί την ακόλουθη συνάρτηση:

$f(\mathrm{P})=\mathrm{P}\mathrm{A}+\mathrm{P}\mathrm{B}+\mathrm{P}\mathrm{\Gamma }+\mathrm{P}{\mathrm{H}}_{\mathrm{A}}+\mathrm{P}{\mathrm{H}}_{\mathrm{B}}+\mathrm{P}{\mathrm{H}}_{\mathrm{\Gamma }}$.

• Σε ένα τρίγωνο δύο ύψη είναι ίσα αν και μόνο αν το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

Μετρικές σχέσεις

• Από τον τύπο του Ήρωνα προκύπτει ότι

${\upsilon }_{\mathrm{A}}=\frac{2}{\alpha }\cdot \sqrt{\tau \cdot (\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )}$,

όπου $\tau =\frac{1}{2}\cdot (\alpha +\beta +\gamma )$ είναι η ημιπερίμετρος.

• Επίσης, ισχύουν οι παρακάτω τριγωνομετρικές σχέσεις:Πρότυπο:RpΠρότυπο:Rp

${\upsilon }_{\mathrm{A}}=\alpha \cdot \frac{\sin \hat{\mathrm{B}}\cdot \sin \hat{\mathrm{\Gamma }}}{\sin \hat{\mathrm{A}}}$, ${\upsilon }_{\mathrm{B}}=\beta \cdot \frac{\sin \hat{\mathrm{\Gamma }}\cdot \sin \hat{\mathrm{A}}}{\sin \hat{\mathrm{B}}}$ και ${\upsilon }_{\mathrm{\Gamma }}=\gamma \cdot \frac{\sin \hat{\mathrm{A}}\cdot \sin \hat{\mathrm{B}}}{\sin \hat{\mathrm{\Gamma }}}$.

• Έστω $\mathrm{E}$ το εμβαδό του τριγώνου και $\hat{\mathrm{A}}>90^o$, τότεΠρότυπο:R

${\mathrm{A}\mathrm{H}}^2=\frac{\alpha \cdot ({\beta }^2+{\gamma }^2-{\alpha }^2)}{4\mathrm{E}}$,

και αν $\mathrm{A}<90^o$, τότε

${\mathrm{A}\mathrm{H}}^2=\frac{\alpha \cdot ({\alpha }^2-{\beta }^2-{\gamma }^2)}{4\mathrm{E}}$.

• Αν $R$ η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου, τότε

${\mathrm{A}\mathrm{H}}^2+{\mathrm{B}\mathrm{H}}^2+{\mathrm{\Gamma }\mathrm{H}}^2=12R^2-({\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2)$

• Αν $\mathrm{H}$ το ορθόκεντρο, $\mathrm{G}$ το βαρύκεντρο, $(\mathrm{O},R)$ ο περιγεγραμμένος, $(\mathrm{I},\rho )$ o εγγεγραμμένος και $({\mathrm{I}}_{\mathrm{A}},{\rho }_{\mathrm{A}})$ ο παρεγγεγραμμένος κύκλος, τότεΠρότυπο:R

${\mathrm{O}\mathrm{H}}^2=9R^2-({\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2)$,

${\mathrm{H}\mathrm{G}}^2=4R^2-4\cdot ({\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2)$,

${\mathrm{H}\mathrm{I}}^2=2{\rho }^2-4R^2\cos \hat{\mathrm{A}}\cos \hat{\mathrm{B}}\cos \hat{\mathrm{\Gamma }}$,

${\mathrm{H}{\mathrm{I}}_{\mathrm{A}}}^2=2{\rho }_{\mathrm{A}}^2-4R^2\cos \hat{\mathrm{A}}\cos \hat{\mathrm{B}}\cos \hat{\mathrm{\Gamma }}$.

• Για τα ύψη $\mathrm{A}{\mathrm{H}}_{\mathrm{A}},\mathrm{B}{\mathrm{H}}_{\mathrm{B}},\mathrm{\Gamma }{\mathrm{H}}_{\mathrm{\Gamma }}$, ισχύει ότι
  • $\mathrm{A}\mathrm{H}\cdot \mathrm{H}{\mathrm{H}}_{\mathrm{A}}=\mathrm{B}\mathrm{H}\cdot \mathrm{H}{\mathrm{H}}_{\mathrm{B}}=\mathrm{\Gamma }\mathrm{H}\cdot \mathrm{H}{\mathrm{H}}_{\mathrm{\Gamma }}$,
  • $\frac{\mathrm{A}\mathrm{H}}{\mathrm{H}{\mathrm{H}}_{\mathrm{A}}}+\frac{\mathrm{B}\mathrm{H}}{\mathrm{H}{\mathrm{H}}_{\mathrm{B}}}+\frac{\mathrm{\Gamma }\mathrm{H}}{\mathrm{H}{\mathrm{H}}_{\mathrm{\Gamma }}}=1$.
  • $({\upsilon }_{\mathrm{A}}+{\upsilon }_{\mathrm{B}}+{\upsilon }_{\mathrm{\Gamma }})\cdot (\frac{1}{{\upsilon }_{\mathrm{A}}}+\frac{1}{{\upsilon }_{\mathrm{B}}}+\frac{1}{{\upsilon }_{\mathrm{\Gamma }}})=(\alpha +\beta +\gamma )\cdot (\frac{1}{\alpha }+\frac{1}{\beta }+\frac{1}{\gamma })$.
• Αν ${\mu }_{\mathrm{A}}$ η διάμεσος τριγώνου $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ με $\beta >\gamma$, τότε

${\upsilon }_{\mathrm{A}}\cdot {\mu }_{\mathrm{A}}=\frac{{\beta }^2-{\gamma }^2}{2\alpha }$.

• Αν $\rho$ η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου και ${\rho }_{\mathrm{A}},{\rho }_{\mathrm{B}},{\rho }_{\mathrm{\Gamma }}$ οι ακτίνες των παρεγγεγραμμένων κύκλων, τότεΠρότυπο:R

$\frac{1}{{\rho }_{\mathrm{A}}}=\frac{1}{{\upsilon }_{\mathrm{B}}}+\frac{1}{{\upsilon }_{\mathrm{\Gamma }}}-\frac{1}{{\upsilon }_{\mathrm{A}}}$,

$\frac{1}{{\rho }_{\mathrm{A}}}+\frac{1}{{\rho }_{\mathrm{B}}}+\frac{1}{{\rho }_{\mathrm{\Gamma }}}=\frac{1}{\rho }=\frac{1}{{\upsilon }_{\mathrm{A}}}+\frac{1}{{\upsilon }_{\mathrm{B}}}+\frac{1}{{\upsilon }_{\mathrm{\Gamma }}}$,

$\frac{1}{{\rho }^2}+\frac{1}{{\rho }_{\mathrm{A}}^2}+\frac{1}{{\rho }_{\mathrm{B}}^2}+\frac{1}{{\rho }_{\mathrm{\Gamma }}^2}=4\cdot (\frac{1}{{\upsilon }_{\mathrm{A}}^2}+\frac{1}{{\upsilon }_{\mathrm{B}}^2}+\frac{1}{{\upsilon }_{\mathrm{\Gamma }}^2})$.

Ανισοτικές σχέσεις

• Σε κάθε τρίγωνο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ με $\alpha >\beta >\gamma$ έχουμε ότι:Πρότυπο:R

${\upsilon }_{\mathrm{A}}<{\upsilon }_{\mathrm{B}}<{\upsilon }_{\mathrm{\Gamma }}.$

• Σε κάθε τρίγωνο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$, κάθε ύψος είναι μικρότερο από το άθροισμα των άλλων δύο πλευρών, δηλαδήΠρότυπο:R

$\mathrm{A}{\mathrm{H}}_{\mathrm{A}}<\frac{1}{2}(AB+A\mathrm{\Gamma })$,

$\mathrm{A}{\mathrm{H}}_{\mathrm{B}}<\frac{1}{2}(BA+B\mathrm{\Gamma })$, και

$\mathrm{A}{\mathrm{H}}_{\mathrm{\Gamma }}<\frac{1}{2}(\mathrm{\Gamma }A+\mathrm{\Gamma }B)$.

Το ορθικό τρίγωνο ${\mathrm{H}}_{\mathrm{A}}{\mathrm{H}}_{\mathrm{B}}{\mathrm{H}}_{\mathrm{\Gamma }}$ του $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$.

Ορθικό τρίγωνο

Το τρίγωνο ${\mathrm{H}}_{\mathrm{A}}{\mathrm{H}}_{\mathrm{B}}{\mathrm{H}}_{\mathrm{\Gamma }}$ λέγεται ορθικό (ή αλλιώς ποδικό) τρίγωνο του τριγώνου $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$.

Δείτε επίσης

• Διάμεσος
• Διχοτόμος γωνίας
• Μεσοκάθετη ευθύγραμμου τμήματος
• Ορθικό τρίγωνο
• Ορθοκεντρική τετράδα