Αβελιανή ομάδα

Στα μαθηματικά, αβελιανή ομάδα ή αντιμεταθετική ομάδα είναι μια ομάδα $(A,\circ )$ στην οποία, πέρα από τις συνήθεις ιδιότητες, η πράξη της ικανοποιεί και την αντιμεταθετική ιδιότητα, δηλαδή για κάθε στοιχεία $a,b\in A$, έχουμε $a\circ b=b\circ a$.Πρότυπο:RpΠρότυπο:Rp

Οι αβελιανές ομάδες πήραν την ονομασία τους από τον Νορβηγό μαθηματικό Νιλς Χένρικ Άμπελ (Nils Henrik Abel)Πρότυπο:Rp διότι ο Abel ήταν ο πρώτος που βρήκε ότι η μεταθετικότητα των στοιχείων μίας ομάδας ενός πολυωνύμου σχετίζεται με τον υπολογισμό των ριζών του.Πρότυπο:Rp Η χρήση της λέξης «αβελιανή» έχει γίνει τόσο κοινή στα Μαθηματικά, ώστε καθιερώθηκε να γράφεται με μικρό «α».

Η έννοια των αβελιανών ομάδων είναι από τις πρώτες που εισάγονται στον τομέα της αφηρημένης άλγεβρας πάνω στην οποία βασίζονται βασικές έννοιες όπως τα πρότυπα, οι διανυσματικοί χώροι κ.ά.

Ορισμός

Μια αβελιανή ομάδα $(A,\circ )$ είναι μία ομάδα με σύνολο $A$ και δυαδική πράξη $\circ$, η οποία ικανοποιεί την αντιμεταθετική ιδιότητα:

Για κάθε $a,b\in A$, ισχύει ότι $a\circ b=b\circ a$.

Επομένως, συνολικά η αβελιανή ομάδα $(A,\circ )$ ικανοποιεί τις εξής ιδιότητες:

• Κλειστότητα: Για κάθε $a,b\in A$, ισχύει ότι $a\circ b\in A$.
• Προσεταιριστική ιδιότητα: Για κάθε $a,b,c\in A$, ισχύει ότι $a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c$.
• Ύπαρξη ουδέτερου στοιχείου: Υπάρχει ένα στοιχείο $e\in A$, ώστε για κάθε $a\in A$, $a\circ e=e\circ a=a$.
• Ύπαρξη αντιστρόφου στοιχείου: Για κάθε $a\in A$, υπάρχει $b\in A$ ώστε $a\circ b=b\circ a=e$.
• Αντιμεταθετική ιδιότητα: Για κάθε $a,b\in A$, ισχύει ότι $a\circ b=b\circ a$.

Παραδείγματα

• Το σύνολο των πραγματικών αριθμών μαζί με την πρόσθεση $(ℝ,+)$, καθώς $a+b=b+a$ για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς $a,b\in ℝ$.Πρότυπο:RΠρότυπο:R
• Κάθε κυκλική ομάδα $(G,\cdot )$ είναι αβελιανή.Πρότυπο:R

Πρότυπο:Collapse top Έστω $x,y\in G$, τότε αφού η $(G,\cdot )$ είναι κυκλική ομάδα, $x=a^n$ και $y=a^m$ για κάποιο στοιχείο $a\in G$ και ακεραίους αριθμούς $n,m\in \mathbb{Z}$. Συνεπώς,

$x\cdot y=a^n\cdot a^m=a^{n+m}=a^{m+n}=a^m\cdot a^n=y\cdot x$.

Επομένως, ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα. Πρότυπο:Collapse bottom

• Ως κυκλικές ομάδες, οι ακέραιοι $\mathbb{Z}$ φτιάχνουν μια αβελιανή ομάδα με πράξη την πρόσθεση, και το ίδιο και οι ακέραιοι με υπόλοιπο $n$ με πράξη την πρόσθεση, ${\mathbb{Z}}_n$.
• Κάθε δακτύλιος μαζί με την πρόσθεση.
• Κάθε ομάδα με $4$ στοιχεία είναι αβελιανή.Πρότυπο:R
• Κάθε ομάδα $(G,\circ )$ με $g^2=e$ για κάθε $g\in G$, είναι αβελιανή.Πρότυπο:RΠρότυπο:R

Πρότυπο:Collapse top Έστω $a,b\in G$. Τότε,

Πρότυπο:NumBlk

Αφού $a^2=e$ και $b^2=e$, έχουμε ότι $a=a^{-1}$ και $b=b^{-1}$ και άρα από την (Πρότυπο:EquationNote), έχουμε

$ba=ab$.

Ιδιότητες

• Ο πίνακας Cayley μίας αβελιανής ομάδας είναι συμμετρικός ως προς την διαγώνιο, καθώς $a\circ b=b\circ a$.Πρότυπο:R
• Κάθε υποομάδα μία αβελιανής ομάδας είναι κανονική.Πρότυπο:R
• Έστω $\varphi :G\to H$ ένας μονομορφισμός μεταξύ δύο ομάδων $(G,\circ )$ και $(H,\cdot )$. Αν η $(H,\cdot )$ είναι αβελιανή, τότε είναι και η $(G,\circ )$.Πρότυπο:RΠρότυπο:R

Πρότυπο:Collapse top Θεωρούμε $a,b\in G$, τότε αφού η $(H,\cdot )$ είναι αβελιανή,

$\varphi (a\circ b)=\varphi (a)\cdot \varphi (b)=\varphi (b)\cdot \varphi (a)=\varphi (b\circ a)$.

Αφού η συνάρτηση $\varphi$ είναι ένα-προς-ένα, έπεται ότι $a\circ b=b\circ a$ και ότι η $(G,\circ )$ είναι αβελιανή ομάδα. Πρότυπο:Collapse bottom

Δείτε επίσης

• Πεπερασμένα παραγόμενες αβελιανές ομάδες
• Επιλύσιμες ομάδες