Κλειστότητα

Περιγραφικά, μπορούμε να ορίσουμε την ιδιότητα της κλειστότητας σε μια πράξη που έχει οριστεί σε ένα σύνολο ως έξης:

Για κάθε ζεύγος στοιχείων που ανήκουν στο σύνολο και έχουν σαν αποτέλεσμα της πράξης ένα στοιχείο, το στοιχείο αυτό ανήκει επίσης στο σύνολο.

Πιο αυστηρά με συμβολισμούς:

Έστω ένα σύνολο $S$, μία δυαδική πράξη $\cdot$ στο σύνολο (δηλαδή $\cdot :S\times S\to S$) και ένα σύνολο $H\subseteq S$. Τότε το $(H,\cdot )$ ικανοποιεί την ιδιότητα της κλειστότητας ανν

$\mathrm{\forall }a,b\in H.a\cdot b\in H$.

Τότε λέμε ότι το $H$ είναι κλειστό ως προς την πράξη $\cdot$.

Παραδείγματα

• Το $(\mathbb{Z},-)$ δηλαδή οι ακέραιοι με την πράξη της αφαίρεσης στους ακεραίους ικανοποιούν την κλειστότητα, καθώς κάθε ακέραιος έχει έναν ακέραιο αντίστροφο.
• Το $(\mathbb{N},-)$ δηλαδή οι φυσικοί αριθμοί με την πράξη της αφαίρεσης στους ακεραίους δεν ικανοποιούν την κλειστότητα, καθώς για παράδειγμα $3-5=-2$, που δεν ανήκει στο $\mathbb{N}$.
• Έστω $H=\{2k:k\in \mathbb{N}\}$, το σύνολο των ζυγών φυσικών αριθμών και $+$ η πρόσθεση στους ακεραίους. Τότε, το $(H,+)$ ικανοποιεί την κλειστότητα, αφού το άθροισμα δύο ζυγών είναι ζυγός.
• Έστω $H=\{k^3:k\in \mathbb{N}\}$, το σύνολο των κύβων φυσικών αριθμών και $+$ η πρόσθεση στους ακεραίους. Τότε, το $(H,+)$ δεν ικανοποιεί την κλειστότητα, αφού το άθροισμα δύο κύβων δεν είναι κατά ανάγκη κύβος είναι κύβος (π.χ. $1^3+2^3=9$ που δεν είναι κύβος).
• Εξ ορισμού σε κάθε μονοειδές, ομάδα, σώμα, δακτύλιο, το σύνολο μαζί με τις αντίστοιχες πράξεις ικανοποιεί την ιδιότητα της κλειστότητας.