Αναμενόμενη τιμή

Πρότυπο:Πηγές Η αναμενόμενη τιμή μίας τυχαίας μεταβλητής $X$ συμβολίζεται συνήθως με $E(X),{\mu }_X$ ή $\mu$.

Ορισμός

Η αναμενόμενη τιμή ορίζεται ως το ολοκλήρωμα Lebesque ως προς το μέτρο πιθανότητας. Έστω ο χώρος πιθανότητας $(\mathrm{\Omega },ℱ,P)$ και ο μετρήσιμος χώρος $(\overline{ℝ},ℬ)$, όπου $\overline{ℝ}=ℝ\cup \{-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }\}$ και $ℬ$ η Borel σ-άλγεβρα. Αν η $X$ είναι $P-$ ολοκληρώσιμη, τότε η αναμενόμενη τιμή ορίζεται ως

$E(X)=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }XdP=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }X(\omega )P(d\omega )$.

Διακριτές τυχαίες μεταβλητές

Έστω $X$ μία διακριτή ολοκληρώσιμη τυχαία μεταβλητή που παίρνει τις τιμές $x_i,i\in N,N\subset \mathbb{N}$ με αντίστοιχες πιθανότητες $p_i=P(X=x_i)$. Η αναμενόμενη τιμή της μεταβλητής είναι:

$E(X)=\sum _{i\in N}{x}_i{p}_i.$

Η ολοκληρωσιμότητα σε αυτήν την περίπτωση ελέγχεται ως εξής:

$\sum _{i\in N}|x_i|p_i<\mathrm{\infty }.$

Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές

Έστω $X$ μία τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας $f(x)$ η αναμενόμενη της τιμή είναι:

$E(X)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}xf(x)dx$.

Ιδιότητες

Έστω $X$ μία ολοκληρώσιμη τυχαία μεταβλητή και $a,b\in ℝ$:

$\mathrm{E}(aX+b)=a\mathrm{E}(X)+b$.

Έστω $X,Y$ ολοκληρώσιμες τυχαίες μεταβλητές:

$\mathrm{E}(X+Y)=\mathrm{E}(X)+\mathrm{E}(Y)$.

Έστω $X,Y$ δύο ανεξάρτητες ολοκληρώσιμες τυχαίες μεταβλητές:

$\mathrm{E}(XY)=\mathrm{E}(X)\mathrm{E}(Y)$.

Δείτε επίσης

• Διακύμανση