Ανισότητα Γένσεν

Αρχείο:Ανισότητα Γένσεν.svg

Η ανισότητα Γένσεν για την κυρτή συνάρτηση $f$ για δύο μεταβλητές $x_1,x_2$, δίνει ότι για κάθε $\lambda \in [0,1]$ το κόκκινο σημείο είναι άνω του πράσινου.

Στα μαθηματικά, η ανισότητα Γένσεν (αναφέρεται και ως ανισότητα Jensen) λέει ότι για κάθε κυρτή συνάρτηση $f:ℝ\to ℝ$ και πραγματικούς αριθμούς $x_1,\dots ,x_n$, ισχύει ότιΠρότυπο:Rp

$f\left(\frac{x_1+\dots +x_n}{n}\right)\le \frac{f(x_1)+\dots +f(x_n)}{n}.$

Πιο γενικά, για κάθε ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n\ge 0$ με ${\lambda }_1+\dots +{\lambda }_n=1$, ισχύει ότι

$f({\lambda }_1{x}_1+\dots +{\lambda }_n{x}_n)\le {\lambda }_{1}f(x_1)+\dots +{\lambda }_{n}f(x_n).$

Για κοίλες συναρτήσεις, οι ανισότητες ισχύουν με την αντίθετη φορά.

Απόδειξη

Μία συνάρτηση $f:ℝ\to ℝ$ είναι κυρτή αν για κάθε $a,b\in ℝ$ και $\lambda \in [0,1]$, ισχύει ότι

Πρότυπο:NumBlk

Αυτός ο ορισμός μας δίνει κατευθείαν την ανισότητα Γένσεν για $n=2$, θέτοντας $a=x_1$ και $b=x_2$. Τώρα θα αποδείξουμε την ανισότητα για κάθε $n\ge 2$ με την χρήση της μαθηματικής επαγωγής. Ας υποθέσουμε ότι ισχύει για $n$ και κάθε $x_1,\dots ,x_n$ και κάθε ${{\lambda }_1}^{\prime },\dots ,{{\lambda }_n}^{\prime }\ge 0$ με ${{\lambda }_1}^{\prime }+\dots +{{\lambda }_n}^{\prime }=1$, δηλαδή

$f({{\lambda }_1}^{\prime }{x}_1+\dots +{{\lambda }_n}^{\prime }{x}_n)\le {{\lambda }_1}^{\prime }f(x_1)+\dots +\dots {{\lambda }_n}^{\prime }f(x_n).$

Θα αποδείξουμε ότι ισχύει και για κάθε $x_1,\dots ,x_{n+1}$ και ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_{n+1}\ge 0$ με ${\lambda }_1+\dots +{\lambda }_{n+1}=1$. Ξεκινάμε γράφοντας το αριστερό μέλος με την εξής ισοδύναμη μορφή,

$\begin{array}{cc}f({\lambda }_1{x}_1+\dots +{\lambda }_{n+1}{x}_{n+1})& =f(({\lambda }_1+\dots +{\lambda }_n)\cdot \frac{{\lambda }_1{x}_1+\dots +{\lambda }_n{x}_n}{{\lambda }_1+\dots +{\lambda }_n}+{\lambda }_{n+1}{x}_{n+1})\\ & =f(({\lambda }_1+\dots +{\lambda }_n)\cdot \frac{{\lambda }_1{x}_1+\dots +{\lambda }_n{x}_n}{{\lambda }_1+\dots +{\lambda }_n}+(1-({\lambda }_1+\dots +{\lambda }_n))\cdot x_{n+1}),\end{array}$

χρησιμοποιώντας ότι ${\lambda }_1+\dots +{\lambda }_{n+1}=1$.

Από την (Πρότυπο:EquationNote) για $\lambda ={\lambda }_1+\dots +{\lambda }_n$, $a=\frac{{\lambda }_1{x}_1+\dots +{\lambda }_n{x}_n}{{\lambda }_1+\dots +{\lambda }_n}$ και $b=x_{n+1}$, έχουμε ότι

$f({\lambda }_1{x}_1+\dots +{\lambda }_{n+1}{x}_{n+1})\le ({\lambda }_1+\dots +{\lambda }_n)\cdot f\left(\frac{{\lambda }_1{x}_1+\dots +{\lambda }_n{x}_n}{{\lambda }_1+\dots +{\lambda }_n}\right)+{\lambda }_{n+1}\cdot f(x_{n+1})$.

Από την επαγωγική υπόθεση, για ${{\lambda }_i}^{\prime }=\frac{{\lambda }_i}{{\lambda }_1+\dots +{\lambda }_n}$ (καθώς ${{\lambda }_1}^{\prime }+\dots +{{\lambda }_n}^{\prime }=1$) έχουμε ότι

$f({\lambda }_1{x}_1+\dots +{\lambda }_{n+1}{x}_{n+1})\le ({\lambda }_1+\dots +{\lambda }_n)\cdot \frac{{\lambda }_{1}f(x_1)+\dots +{\lambda }_{n}f(x_n)}{{\lambda }_1+\dots +{\lambda }_n}+{\lambda }_{n+1}f(x_{n+1})={\lambda }_{1}f(x_1)+\dots +{\lambda }_{n+1}f(x_{n+1})$,

που ολοκληρώνει την απόδειξη για $n+1$ μεταβλητές.

Εφαρμογές

Η ανισότητα Γένσεν βρίσκει εφαρμογές σε διάφορους τομείς των θεωρητικών και εφαρμοσμένων μαθηματικών, συμπεριλαμβανομένων:

• της θεωρίας πληροφορίας (π.χ. η ανισότητα Γκιμπς)
• της θεωρίας πολυπλοκότητας (π.χ. για την ανάλυση πιθανοτικών και προσεγγιστικών αλγορίθμων)
• της θεωρίας πιθανοτήτων (συνήθως με την μορφή $f(\mathrm{E}(X))\le \mathrm{E}(f(X))$ για την αναμενόμενη τιμή $\mathrm{E}$)

Αποδείξεις άλλων ανισοτήτων

Η ανισότητα Γένσεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την απόδειξη αρκετών κλασσικών ανισοτήτων στα μαθηματικά, συμπεριλαμβανομένων των εξής:

• της ανισότητας αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου
• της ανισότητας Γιανγκ για το γινόμενο
• της ανισότητας Κωσύ-Σβαρτς
• της ανισότητας Νέσμπιττ

Ιστορία

Η ανισότητα παίρνει το όνομά της από τον Γιόχαν Γένσεν που την δημοσίευσε στην εργασία του το 1906.Πρότυπο:R Η ανισότητα είχε δημοσιευτεί προγενέστερα το 1889 από τον Όττο Χέλντερ.Πρότυπο:R