Ανισότητα Γιανγκ για το γινόμενο

Στα μαθηματικά, η ανισότητα Γιανγκ (αναφέρεται και ως ανισότητα Young) λέει ότι για οποιουσδήποτε δύο μη-αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς $a,b$ και κάθε $p,q>1$ τέτοιους ώστε $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$, ισχύει ότιΠρότυπο:RpΠρότυπο:Rp

$\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}\ge ab.$

Αυτή η μορφή είναι χρήσιμη για την απόδειξη της ανισότητας Χέλντερ. Στην εργασία του Γιανγκ το 1912, εμφανίστηκε με την μορφή

$a^{p+1}+p{b}^{1+1/p}\ge (p+1)ab,$

για οποιοδήποτε $p\ge 1$, ως γενίκευση της κλασσικής ανισότητας

$a^2+b^2\ge 2ab,$

την οποία λαμβάνουμε για $p=1$.

Γενικεύσεις

Ανισότητα με ολοκληρώματα

Για οποιοδήποτε συνεχή γνησίως αύξουσα συνάρτηση $f:[0,\mathrm{\infty })\to [0,\mathrm{\infty }$ και οποιαδήποτε $a,b>0$ έχουμε ότι

$\underset{0}{\overset{a}{\int }}f(x)dx+\underset{0}{\overset{b}{\int }}{f}^{-1}(x)dx\ge ab.$

Ανισότητα Χέλντερ

Η ανισότητα Χέλντερ δίνει ότι για κάθε θετικούς πραγματικούς αριθμούς $a_1,\dots ,a_n$, $b_1,\dots ,b_n$ και $p,q>1$ τέτοιος ώστε $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$, ισχύει ότι

$\sum _{i=1}^n|a_i{b}_i|\le {(\sum _{i=1}^n|a_i{|}^{1/p})}^p{(\sum _{i=1}^n|b_i{|}^{1/q})}^q.$

Δείτε επίσης

• Ανισότητα Χέλντερ