Ανισότητα Μινκόβσκι

Στα μαθηματικά, η ανισότητα Μινκόβσκι (αναφέρεται και ως ανισότητα Minkowski) λέει ότι για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς $a_1,\dots ,a_n,b_1,\dots ,b_n$ και $p>1$, ισχύει ότιΠρότυπο:RpΠρότυπο:RpΠρότυπο:Rp

${(\sum _{i=1}^n|a_i+b_i{|}^p)}^{1/p}\le {(\sum _{i=1}^n|a_i{|}^p)}^{1/p}+{(\sum _{i=1}^n|b_i{|}^p)}^{1/p}.$

Η ανισότητα ισχύει και για οποιεσδήποτε ολοκληρώσιμες συναρτήσεις $f,g:[a,b]\to ℝ$,Πρότυπο:RΠρότυπο:Rp

${(\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x)+g(x){|}^{p}dx)}^{1/p}\le {(\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x){|}^{p}dx)}^{1/p}+{(\underset{a}{\overset{b}{\int }}|g(x){|}^{p}dx)}^{1/p}.$

Η ανισότητα χρησιμοποιείται στην απόδειξη ότι οι L^p-χώροι είναι νορμικοί διανυσματικοί χώροι, και συγκεκριμένα επιβεβαιώνει την τριγωνική ανισότητα.

Απόδειξη

Θα κάνουμε χρήση της ανισότητας Χέλντερ, η οποία λέει ότι για κάθε $x_1,\dots ,x_n,y_1,\dots y_n$ και $p,q>1$ με $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$, ισχύει ότι

$\sum _{i=1}^n|x_i{y}_i|\le {(\sum _{i=1}^n|x_i{|}^p)}^{1/p}\cdot {(\sum _{i=1}^n|y_i{|}^q)}^{1/q}$.

Για την απόδειξη της ανισότητας Μινκόβσκι για $p>1$, ξεκινάμε γράφοντας

Πρότυπο:NumBlk

όπου χρησιμοποιήσαμε την τριγωνική ανισότητα $|a_i+b_i|\le |a_i|+|b_i|$.

Εφαρμόζοντας την ανισότητα Χέλντερ δύο φορές, μία για $x_i=|a_i|$ και $y_i=|a_i+b_i|$ και μία για $x_i=|b_i|$ και $y_i=|a_i+b_i|$, λαμβάνουμε

$\begin{array}{cc}\sum _{i=1}^n|a_i|\cdot |a_i+b_i{|}^{p-1}+\sum _{i=1}^n|b_i|\cdot |a_i+b_i{|}^{p-1}& \le {(\sum _{i=1}^n|a_i{|}^p)}^{1/p}\cdot {(\sum _{i=1}^n|a_i+b_i{|}^{(p-1)q})}^{1/q}+{(\sum _{i=1}^n|b_i{|}^p)}^{1/p}\cdot {(\sum _{i=1}^n|a_i+b_i{|}^{(p-1)q})}^{1/q}\\ & \le {(\sum _{i=1}^n|a_i{|}^p)}^{1/p}\cdot {(\sum _{i=1}^n|a_i+b_i{|}^p)}^{1/q}+{(\sum _{i=1}^n|b_i{|}^p)}^{1/p}\cdot {(\sum _{i=1}^n|a_i+b_i{|}^p)}^{1/q},\end{array}$

όπου χρησιμοποιήσαμε ότι $p=(p-1)q$ (που προκύπτει από την συνθήκη $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$).

Συνδυάζοντας με την (Πρότυπο:EquationNote) έχουμε ότι,

$\sum _{i=1}^n|a_i+b_i{|}^p\le {(\sum _{i=1}^n|a_i{|}^p)}^{1/p}\cdot {(\sum _{i=1}^n|a_i+b_i{|}^p)}^{1/q}+{(\sum _{i=1}^n|b_i{|}^p)}^{1/p}\cdot {(\sum _{i=1}^n|a_i+b_i{|}^p)}^{1/q}$

η οποία, διαιρώντας και τα δύο μέλη με ${({\sum }_{i=1}^n|a_i+b_i{|}^p)}^{1/q}$, είναι ισοδύναμη με

${(\sum _{i=1}^n|a_i+b_i{|}^p)}^{1-1/q}\le {(\sum _{i=1}^n|a_i{|}^p)}^{1/p}+{(\sum _{i=1}^n|b_i{|}^p)}^{1/p}.$

Τέλος, χρησιμοποιώντας ότι $1-\frac{1}{q}=\frac{1}{p}$, λαμβάνουμε την ανισότητα Μινκόβσκι.

Ιστορία

Η ανισότητα παίρνει το όνομά της από τον Χέρμαν Μινκόβσκι, που δημοσίευσε την ανισότητα στο έργο του το 1910.Πρότυπο:R

Δείτε επίσης

• Ανισότητα Χέλντερ