Βαρύκεντρο τριγώνου

Οι διάμεσοι $\mathrm{A}{\mathrm{M}}_{\mathrm{A}}$, $\mathrm{B}{\mathrm{M}}_{\mathrm{B}}$ και $\mathrm{\Gamma }{\mathrm{M}}_{\mathrm{\Gamma }}$ διέρχονται από το ίδιο σημείο $\mathrm{G}$.

Στην γεωμετρία, το βαρύκεντρο (ή κέντρο βάρους) ενός τριγώνου είναι το σημείο του τριγώνου όπου διέρχονται οι τρεις διάμεσοί του. Πιο συγκεκριμένα:Πρότυπο:RpΠρότυπο:RpΠρότυπο:Rp

Σε ένα τρίγωνο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$, οι τρεις διάμεσοι $\mathrm{A}{\mathrm{M}}_{\mathrm{A}},\mathrm{B}{\mathrm{M}}_{\mathrm{B}},\mathrm{\Gamma }{\mathrm{M}}_{\mathrm{\Gamma }}$ διέρχονται από το ίδιο σημείο $\mathrm{G}$. Επιπλέον ισχύει ότι

$\mathrm{A}\mathrm{G}\mathrm{=}\frac{2}{3}\mathrm{A}{\mathrm{M}}_{\mathrm{A}}$, $\mathrm{B}\mathrm{G}\mathrm{=}\frac{2}{3}\mathrm{B}{\mathrm{M}}_{\mathrm{B}}$ και $\mathrm{\Gamma }\mathrm{G}\mathrm{=}\frac{2}{3}\mathrm{\Gamma }{\mathrm{M}}_{\mathrm{\Gamma }}$.

Ιδιότητες

Κάποιες από τις κυριότερες ιδιότητες του βαρύκεντρου είναι οι εξής:Πρότυπο:Rp

• Το βαρύκεντρο χωρίζει τις διαμέσους σε δύο ευθύγραμμα τμήματα με λόγο $2:1$, δηλαδή $\mathrm{A}\mathrm{G}\mathrm{=}\mathrm{2}\mathrm{\cdot }\mathrm{G}{\mathrm{M}}_{\mathrm{A}}$.
• Οι συντεταγμένες του βαρύκεντρου $\mathrm{G}$ δίνονται από τον μέσο όρο των συντεταγμένων των τριών κορυφών του τριγώνου:

$({\mathrm{G}}_x,{\mathrm{G}}_y)=(\frac{1}{3}\cdot ({\mathrm{A}}_x+{\mathrm{B}}_x+{\mathrm{\Gamma }}_x),\frac{1}{3}\cdot ({\mathrm{A}}_y+{\mathrm{B}}_y+{\mathrm{\Gamma }}_y)).$

• (Θεώρημα Πάππου) Έστω $\epsilon$ μία ευθεία στο επίπεδο που δεν έχει κοινά σημεία με το $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$. Τότε η απόσταση του βαρύκεντρου από την $\epsilon$ είναι ο αριθμητικός μέσος των αποστάσεων των τριών κορυφών από την $\epsilon$.
• (Ευθεία του Όιλερ) Έστω $\mathrm{O}$ το περίκεντρο, $\mathrm{H}$ το ορθόκεντρο του τριγώνου $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$. Τότε τα $\mathrm{G},\mathrm{H},\mathrm{O}$ είναι συνευθειακά και $\mathrm{H}\mathrm{G}=2\cdot \mathrm{O}\mathrm{G}$.
• (Σχέση του Λάιμπνιτς) Έστω $\mathrm{M}$ ένα τυχόν σημείο του επιπέδου. Τότε,

${\mathrm{M}\mathrm{A}}^2+{\mathrm{M}\mathrm{B}}^2+{\mathrm{M}\mathrm{\Gamma }}^2=3\cdot {\mathrm{M}\mathrm{G}}^2+\frac{1}{3}\cdot ({\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2).$

• Από την παραπάνω σχέση προκύπτει ότι το βαρύκεντρο είναι το σημείο $\mathrm{M}$ του επιπέδου που ελαχιστοποιεί το άθροισμα των τετραγώνων των αποστάσεων από τις τρεις κορυφές του, δηλαδή την τιμή της συνάρτησης:

$f(\mathrm{M})={\mathrm{M}\mathrm{A}}^2+{\mathrm{M}\mathrm{B}}^2+{\mathrm{M}\mathrm{\Gamma }}^2$.

• Το συμπληρωματικό τρίγωνο ${\mathrm{M}}_{\mathrm{A}}{\mathrm{M}}_{\mathrm{B}}{\mathrm{M}}_{\mathrm{\Gamma }}$ έχει τις ίδιες διαμέσους και το ίδιο βαρύκεντρο με το τρίγωνο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$.
• Έστω ${\mathrm{G}}_{\alpha }$, ${\mathrm{G}}_{\beta }$, ${\mathrm{G}}_{\gamma }$ οι αποστάσεις του βαρυκέντρου από τις πλευρές του τριγώνου, τότεΠρότυπο:Rp.

${\mathrm{G}}_{\alpha }\cdot \alpha ={\mathrm{G}}_{\beta }\cdot \beta ={\mathrm{G}}_{\gamma }\cdot \gamma =\frac{2}{3}{\mathrm{E}}_{\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }}$.

Κατασκευή με κανόνα και διαβήτη

Η κατασκευή του βαρυκέντρου ενός τριγώνου βασικά ακολουθεί την κατασκευή των δύο διαμέσων $\mathrm{B}{\mathrm{M}}_{\mathrm{B}}$ και $\mathrm{\Gamma }{\mathrm{M}}_{\mathrm{\Gamma }}$, η τομή των οποίων είναι το βαρύκεντρο. Αναλυτικότερα:

1. Με τον διαβήτη χαράζουμε τρεις κύκλους με κέντρα τα $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ και $\mathrm{\Gamma }$ και ακτίνα το μέγιστο από τα $\mathrm{A}\mathrm{B}$ και $\mathrm{A}\mathrm{\Gamma }$.
2. Βρίσκουμε τα σημεία τομής ${\mathrm{T}}_1$ και ${\mathrm{T}}_2$ των κύκλων με κέντρο το $\mathrm{A}$ και το $\mathrm{B}$.
3. Βρίσκουμε τα σημεία τομής ${\mathrm{T}}_3$ και ${\mathrm{T}}_4$ των κύκλων με κέντρο το $\mathrm{A}$ και το $\mathrm{\Gamma }$.
4. Χαράζουμε τις ευθείες που διέρχονται από τα ${\mathrm{T}}_1$ και ${\mathrm{T}}_2$, και τα ${\mathrm{T}}_3$ και ${\mathrm{T}}_4$ αντίστοιχα.
5. Το σημείο τομής των ${\mathrm{T}}_{\mathrm{3}}{\mathrm{T}}_{\mathrm{4}}$ και $\mathrm{A}\mathrm{B}$ είναι το μέσο ${\mathrm{M}}_{\mathrm{B}}$ της $\mathrm{A}\mathrm{\Gamma }$. Αντίστοιχα, το σημείο τομής των ${\mathrm{T}}_{\mathrm{1}}{\mathrm{T}}_{\mathrm{2}}$ και $\mathrm{A}\mathrm{\Gamma }$ είναι το μέσο ${\mathrm{M}}_{\mathrm{\Gamma }}$ της $\mathrm{A}\mathrm{B}$.
6. Το σημείο τομής των $\mathrm{B}{\mathrm{M}}_{\mathrm{B}}$ και $\mathrm{\Gamma }{\mathrm{M}}_{\mathrm{\Gamma }}$ είναι το βαρύκεντρο $\mathrm{G}$ του τριγώνου.

Κατασκευή του βαρύκεντρου του τριγώνου $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ με κανόνα και διαβήτη.

Δείτε επίσης

• Διάμεσος (γεωμετρία)
• Ορθόκεντρο τριγώνου
• Περίκεντρο τριγώνου
• Έγκεντρο τριγώνου