Βεδικό τετράγωνο
Στα Ινδικά μαθηματικά, το Βεδικό τετράγωνο είναι μια παραλλαγή του τυπικού 9×9 πίνακα πολλαπλασιασμού όπου η καταχώρηση σε κάθε κελί είναι η ψηφιακή ρίζα του γινομένου των σειρών και των στηλών, δηλαδή το υπόλοιπο όταν το γινόμενο των σειρών και των στηλών διαιρεθεί με το 9 (με το υπόλοιπο 0 να αντιπροσωπεύεται από το 9). Πολλά γεωμετρικά μοτίβα και συμμετρίες μπορούν να παρατηρηθούν σε ένα Βεδικό τετράγωνο, μερικά από τα οποία βρίσκονται στην παραδοσιακή Ισλαμική τέχνη.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 2 | 2 | 4 | 6 | 8 | 1 | 3 | 5 | 7 | 9 |
| 3 | 3 | 6 | 9 | 3 | 6 | 9 | 3 | 6 | 9 |
| 4 | 4 | 8 | 3 | 7 | 2 | 6 | 1 | 5 | 9 |
| 5 | 5 | 1 | 6 | 2 | 7 | 3 | 8 | 4 | 9 |
| 6 | 6 | 3 | 9 | 6 | 3 | 9 | 6 | 3 | 9 |
| 7 | 7 | 5 | 3 | 1 | 8 | 6 | 4 | 2 | 9 |
| 8 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 9 |
| 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 |
Αλγεβρικές ιδιότητες
Το Βεδικό τετράγωνο μπορεί να θεωρηθεί ως ένας πίνακας πολλαπλασιασμού του μονοειδούς , όπου είναι το σύνολο των ακεραίων modulo 9. (η πράξη αναφέρεται στον "πολλαπλασιασμό" μεταξύ των στοιχείων αυτού του μονοειδούς).
Αν αποτελούν στοιχεία του , τότε το μπορεί να οριστεί και ως . Αυτό δεν σχηματίζει μια ομάδα, επειδή δεν έχει κάθε μη μηδενικό στοιχείο ένα αντίστοιχο αντίστροφο στοιχείο. Για παράδειγμα, αλλά δεν υπάρχει τέτοιο ώστε
Ιδιότητες υποσυνόλων
Το υποσύνολο
σχηματίζει μια κυκλική ομάδα με το 2 ως μία επιλογή γεννήτριας. Αυτή είναι η ομάδα των αντιστρέψιμων στοιχείων του δακτυλίου
. Κάθε σειρά και στήλη περιλαμβάνει και τους έξι αριθμούς, οπότε αυτό το υποσύνολο σχηματίζει ένα Λατινικό τετράγωνο.
| 1 | 2 | 4 | 5 | 7 | 8 | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 | 4 | 5 | 7 | 8 |
| 2 | 2 | 4 | 8 | 1 | 5 | 7 |
| 4 | 4 | 8 | 7 | 2 | 1 | 5 |
| 5 | 5 | 1 | 2 | 7 | 8 | 4 |
| 7 | 7 | 5 | 1 | 8 | 4 | 2 |
| 8 | 8 | 7 | 5 | 4 | 2 | 1 |
Από τις δύο στις τρεις διαστάσεις
Ένας Βεδικός κύβος ορίζεται ως η διάταξη κάθε ψηφιακής ρίζας σε έναν τρισδιάστατο πίνακα πολλαπλασιασμού.[2]
Βεδικά τετράγωνα σε υψηλότερες βάσεις
Τα Βεδικά τετράγωνα σε υψηλότερες βάσεις μπορούν να υπολογιστούν για την ανάλυση των συμμετρικών μοτίβων που προκύπτουν. Αυτό το κάνουμε χρησιμοποιώντας τον παρακάτω υπολογισμό: . Οι εικόνες που βλέπετε στα αριστερά είναι χρωματικά κωδικοποιημένες, έτσι ώστε η ψηφιακή ρίζα του 1 να είναι σκοτεινή και η ψηφιακή ρίζα του αριθμού (βάση-1) να είναι ανοιχτή.